限制星图之间的边数，以使图为平面

我有一个仅由星形图组成的图星形图由一个中心节点组成，该中心节点具有到其中每个其他节点的边。令为存在于的不同大小的不同星形图。我们称所有星图为中心的所有节点的集合。$G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

现在，假设这些星形图正在建立其他星形图的边缘，使得任何节点之间都没有边缘入射。然后，有多少边缘在节点之间存在最大，哪些不是在节点，如果图应保持平面？$R$$R$$R$

我想要这样的边缘数量的上限。一上限，我已经记：考虑它们作为二分平面图，其中是一组顶点的休息的顶点形成另一组。我们对这些集合（和）之间的边缘感兴趣。由于它是平面二分体，因此此类边的数量以中节点数的两倍为界。$R$$A$$R$$A$$G$

我的感觉是有一个更好的界限，可能是节点的两倍加上中节点的数量。$A$$R$

如果您可以反驳我的直觉，那也很好。希望你们中的一些人能提出一些相关的论点。

您的陈述有点模棱两可：首先，您写出“ ...使得的节点之间没有边缘入射”，但是下一段暗示顶点之间也没有边缘。我还将假设星星是不相交的，并且您算出了所有边（包括最初存在于星星中的那些边）。我们还假设至少有两颗恒星，并且其中至少一颗具有度。$R$$A$$\ge 2$

在这种情况下，您将无法超越界限（ =所有顶点数）。考虑一个稍微不同的情况：从任意一组个顶点开始，一些红色某些黑色，每种类型至少两个。在每个步骤中，只要不创建相交或重复的边，就可以在红色和黑色顶点之间任意添加边。我声称当您卡住时，所有循环的长度均为。$2N-4$$N$$N$$4$

您的场景是此过程的特例，首先开始创建星星，然后再添加其余边缘。如果所有循环的长度均为，则遵循界限。更一般地说，它表明，无论您从哪个二部图开始，都可以始终将其完成为四边形（由我组成）。$4$$2N-4$

现在，让我们展示索赔。在此过程中，所有路径将具有交替的黑色和红色顶点，并且每个循环的长度至少为。如果未连接图形，则可以将一个组件的外表面上的任何红色顶点与另一个组件的另一面上的黑色顶点相连。因此，我们可以假设图形已经连接。$4$

假设您的脸的长度为或更大。必须至少具有三个黑色顶点（有些可能相等）。如果某些顶点上重复，采用两种顺时针连续出场，说。必须包含一个黑色顶点，因此，根据的位置，我们可以将或连接到内部的，而无需重复边缘。如果没有顶点重复，挑顺时针部分的$F$$6$$F$$x$$F$$x$$x-a-...-x-b...$$F$$z\neq x$$z$$a$$b$$z$$F$$x-a-y-b-z$$F$，其中为黑色，为红色。如果连接到那么不能连接到（通过平面度），因此我们可以在内添加边，。$x,y,z$$a,b$$x$$b$$a$$z$$(x,b)$$(a,z)$$F$