图表中的最大失衡？

令为节点和边的连通图。令表示图的（整数）权重，的总权重。则每个节点的平均权重为。令表示节点与平均值的偏差。我们称节点的不平衡。 $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

假设任意两个相邻节点之间的权重最多相差，即 $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

问题：就 $n$ 和而言，网络可能具有的最大不平衡度是 $m$ 多少？更精确地说，描绘向量 $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ 。我对与结果同样满意 $||\vec{e}||_1$ 或 $||\vec{e}||_2$ 。

对于 $||\vec{e}||_\infty$ ，可以找到一个关于图直径的简单界限：由于所有 $e_i$ 必须加和为零，因此，如果存在大的正 $e_i$ ，则在某处一定存在负 $e_j$ 。因此，它们的区别 $|e_i - e_j|$ 至少是 $|e_i|$ ，但此差异最多可能是节点 $i$ 和之间的最短距离，而该距离 $j$ 又最多可能是图形直径。

我对更强的边界感兴趣，最好是 $1$ 或 $2$ 范数。我想它应该包含一些频谱图理论来反映图的连通性。我尝试将其表示为最大流量问题，但无济于事。

编辑：更多的解释。我对 $1$ 或 $2$ 规范感兴趣，因为它们可以更准确地反映总的不平衡状态。从得到一个平凡的关系 $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ 和 $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ 。但是，由于图的连通性以及我对相邻节点之间的负载差异的限制，我希望 $1$ 和 $2$ 范数应该小得多。

示例：的维d的超立方体。它的直径为。那么最大不平衡度最大为。这建议作为范数的上限。到目前为止，我还无法构建实际获得这种情况的情况，我能做的最好的事情就是 $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ ，我在那里嵌入一个周期到超立方体，并具有节点具有不平衡，，，等，所以，这里的边界是关闭的因素，这一点我已经考虑太多，因为我正在寻找（渐近）紧界。 $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— 拉格拜尔
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有趣的问题。有什么特殊的应用程序吗？

— Suresh Venkat

@AndrásSalamon：谢谢您的编辑。@Suresh Venkat：假设权重代表希望最小化其经验负荷的大小均一的代理商的数量。如果

他们将希望从

移到

。如果没有人愿意移动，我们称之为纳什均衡。问题：纳什均衡中最大的总失衡是多少？

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer 2011年

您是否碰巧看到一个示例图，其中您的简单直径范围过于宽松？

— mhum 2011年

好吧，我可以使用

来琐碎地约束其他两个规范

。我对

或

规范感兴趣，因为它们可以更准确地捕获“完全”不平衡。我在问题中添加了一个示例。

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer 2011年

对于超立方体，如果我们通过顶点的汉明权重来加权顶点呢？我得到类似

对于

，我认为

将是

阶。

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

Answers:

由于由直径为界，所述范数是要通过而轻易地界定，同样地对于范数，除由 $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ （实际上范数为界）。 $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

该的情况下被证明是非常容易分析。 $\ell_1$

对于一个路径，很容易看到是，所以你不能做任何优于。 $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

对于完整的叉树，可以将其在根处分成两半，设置，使一侧上升，另一侧下降，直到叶子具有，再次产生。 $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

对于集团而言，分配权重并不重要，因为权重都在之内，这将再次产生。 $1$ $O(n) = O(nd)$

当你意识到我们在这里谈论的是一个函数，然后我们正在采取的常态，只要你可以任意分配权重均匀分布在范围内，则势必会。 $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

改变这种状况的唯一方法是与大众玩游戏。例如，如果您在几个必须平衡的点上有多个大型集团，例如一个具有两条等长路径的大型集团从其中伸出，那么您可以指望一个（例如）的边界。 $O(d^2)$

扩展器在某种程度上也可能是正确的，但我不确定。我可以想象这样一种情况：您在规则图中设置，然后让值从每一跳开始依次增加。均值似乎可能具有最大质量，但我不知道它是否足以影响界限。 $w_1 = 0$

我认为您可以对做出类似的推理。 $\ell_2$

编辑：

评价我们想出一种（松散的）结合的使用问题的约束和一些基本谱图理论。 $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— 约瑟芬·穆勒（Josephine Moeller）
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我喜欢你的回答。但是，我有一个问题，“ 只要您可以在整个范围内任意平均分配权重 ”。我是否可以设想这样一种情况，即直径限制将允许我将权重

放置在某处，但是图形的结构使我无法补偿这么大的正权重？因此，尽管

当然是一个上限，但是否有可能获得更严格的界限？最终使用第二小的Laplacian特征值或第二最大的邻接特征值（因为它们对连通性信息进行编码）？

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— 拉格贝尔

好吧，您没有放置

，而是放置了

。因此，如果您有一个偏斜的

，那么在均值的另一侧必须有大量的小权重对其进行补偿，或者与之截然相反的是其他一些较大的权重。可以使边界小于

的唯一方法是依靠某种方式。就像我说的，我不确定这对扩展器意味着什么。由于我在回答中列举的情况，我认为您不能仅基于电导率来执行此操作。

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

让我再举一个例子。具有两个派系甲哑铃图形具有非常低的导电性，但它的不平衡被2界

— 约瑟芬莫勒

与结构相关的约束将是我非常满意的。这就是为什么我提到特征值，因为它们与连接属性有关。就图的拉普拉斯矩阵的第二最小特征向量而言，例如直径，平均路径，等参数等都有界限。

— Lagerbaer 2011年

立即阅读您的其他示例。我期望这样的图也将具有非常小的第二最小的Laplacian特征值，因为等渗数约为

。

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer 2011年

对于连接的图，不平衡量由图的直径上限。为了限制不平衡，我们可以将每个重写为其中 $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ 是从到的最短路径。限定。我们可以写 $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

每被上通过最短路径的长度为界从到通过您的假设，即对于每个。因此，我们得到了微不足道的绑定： $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

实际上，这可能离理想还差得远。我正在考虑一个完整的 -ary树，其中每个级别上的节点的权重比上一级的权重高一。曲线图的大部分具有最高的权重，。因此，平均值应偏向顶部。如和变大，我期望得到越来越接近，这意味着不平衡应该得到越来越接近。 $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— 尼古拉斯·鲁兹（Nicholas Ruozzi）
source

据我所知，这里绘制的结构可以严格设计，以达到所需的接近

不平衡。但是，由于该问题并未指定在顶点不相邻时会发生什么，因此更容易构造的是完全分离的图，其中顶点

权重为

而所有其他顶点的权重为

。这具有平均权重

，这也是其最大不平衡度。这显然可以任意接近作出

选择一个足够大的

和

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ 可以做得足够大。

— 安德拉斯·萨拉蒙

G

$G$

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$