平面距离保持器的存在吗？

设G是n节点无向图，和设T为V（G）称为的节点子集的终端。甲距离保护者（G，T）的是满足特性的曲线图ħ

对于T中的所有节点u，v。（请注意，H不一定是G的子图。）

例如，令G为下图（a），T为外表面上的节点。则图（b）是（G，T）的距离保持器。

已知存在具有各种参数的距离保持器。我对具有以下属性的一个特别感兴趣：

1. G是平面且未加权（即G的所有边的权重为1），
2. T的大小为，并且$O(n^{0.5})$
3. H的大小（节点和边的数量）为。（如果我们有O （$o(n)$。）$O(\frac{n}{\log\log n})$

是否存在这样的距离保持器？

如果不能满足以上条件，则可以放松。

参考文献：

• 稀疏的按源和按对距离保存器，Don Coppersmith和Michael Elkin，SIDMA，2006年。
• 稀疏距离保存器和加法扳手，BélaBollobás，Don Coppersmith和Michael Elkin，SIDMA，2005年。
• 具有亚线性距离误差的扳手和仿真器，Mikkel Thorup和Uri Zwick，SODA，2006年。
• 添加剂，仿真器等的下界，FOCS的David P. Woodruff，2006年。

距离保持器也被称为模拟器 ; 通过搜索术语spanner可以在互联网上找到许多相关的工作，这需要H成为G的子图。但是在我的应用程序中，只要H保留G中T之间的距离，我们也可以使用其他图。

许多年后，OP似乎终于回答了他自己的问题：Chang-Chih Chang，PawełGawrychowski，Shay Mozes和Oren Weimann撰写的平面图近最佳距离仿真器刚刚发布在arxiv上。

原始问题的答案是肯定的：表明 $\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ 边缘足以保持之间的距离 $|T| =: t$终端，最适合对数因子。尤其是$\widetilde{O}(n^{3/4})$边缘足以满足OP中的设置要求。这个保存器也可以在$\widetilde{O}(n)$时间; 我强烈怀疑，如果只关心保存器的存在而不关心计算时间，那么可以删除大小中的对数因子，但是我没有对此进行严格的验证。

（不那么正式，我发现这个结果确实很棒。恭喜！）

您可能需要看一下克莱因（Klein）的平面子集扳手，该扳手最多可保留1+ε因子的距离。

平面图的子集扳手，应用于子集TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620