谓词在类型论中归纳定义中的作用是什么？

我们经常要定义一个对象$A \in U$根据一些推理规则。这些规则表示生成函数$F$，当它是单调的，产生一个至少固定点。我们取是“归纳定义”的。此外，单调性使我们能够以“归纳原理”进行推理，以确定集合何时包含（即，何时属性普遍持有）。$\mu F$$A := \mu F$$A$$F$$A$$A$

在勒柯克这相当于编写定义有明确的介绍条款。尽管此定义表示特定函数，但该函数不一定是单调的。因此，Coq使用一些语法检查来确保定义的“格式正确”。在某种程度上，它拒绝了在引入词类型中出现在负数位置的$\mathtt{Inductive}$$A$$F$$A$

（如果到目前为止我的理解存在缺陷，请纠正我！）

首先，关于Coq的一些问题：

1）Coq中的语法检查是否仅用于确保的定义为谓语？（如果是这样，则难辨性是定义定义不正确的唯一方法吗？）还是检查单调性？（相应地，非单调性会杀死它吗？）$A$

2）这种否定出现是否必然意味着的定义是强制性/非单调性的？还是Coq在这种情况下根本无法验证其定义是否正确？$A$$A$

更一般地说：

3）归纳定义的谓词性与该定义的生成函数的单调性之间有什么关系？它们是同一枚硬币的两个面吗？他们无关吗？非正式地，哪一个更重要？

不，在这种情况下，谓词性和单调性并不紧密相关。

Coq / Adga中的阳性检查可确保您大致取得单调事物的最小固定点。

以下是根据晶格和单调算符来思考归纳类型的方法。回想一下Knaster-Tarski定理，它说在一个完整的格，每个单调算子f ：L → L都有一个最小固定点μ （f ）。接下来，我们可以将类型理论中的类型视为在可证明性下形成晶格。也就是说，输入小号低于Ť如果真相小号引起该的Ť。现在，我们要做的是对类型采用单调运算符F，并使用Knaster-Tarski得出对该运算符的最小不动点的解释$L$$f : L \to L$$\mu(f)$$S$$T$$S$$T$$F$。 $\mu(F)$

但是，类型理论中的类型不只是一个格子：它们构成一个类别。也就是说，给出两种和牛逼，也有可能很多办法小号会低于牛逼，以及每个证据的一种方式è ：小号→ 牛逼。因此，类型运算符F也必须对这些证明做些明智的事情。单调性的适当概括是函数性。也就是说，我们希望F在类型上有一个运算符，并在证明上有一个作用，使得如果e ：S → T，则F $S$$T$$S$$T$$e : S \to T$$F$$F$$e : S \to T$。$F(e) : F(S) \to F(T)$

现在，函数的性质是由和和积（例如，如果和G是类型的内泛函子，则F + G和F × G（按点作用）也是类型的仿函数（假设我们在的代数中有和和积）但是，它并没有被函数空间保留，因为指数双功能符F → G在其左参数中是相反的，因此，当您编写归纳类型定义时，您将定义一个函子以使其最小固定点。为了确保它确实是一个函子，您需要排除函数空间左侧出现递归参数的可能性，因此要进行阳性检查。$F$$G$$F+G$$F\times G$$F \to G$

通常避免过分折衷（在系统F的意义上），因为它是一种迫使您在经典逻辑和集合论模型之间进行选择的原则。如果具有F样式索引，则不能将类型解释为经典集合论中的集合。（请参阅雷诺兹着名的“多态不是集合论”。）

从类别上说，F风格的泛泛性表示类型和术语的类别构成一个小的完整类别（即，hom和object都是集合，并且所有小图的限制都存在）。传统上，这会迫使类别成为摆放姿势。许多建构主义者之所以具有建设性，是因为他们希望他们的定理不仅限于经典逻辑，而且可以容纳在更多的系统中，因此，他们不想证明任何经典的错误。因此，它们对强制性多态性持谨慎态度。

但是，多态可以让您说出类型理论内部传统上“大”的许多条件，而积极性就是其中之一！如果可以产生多态项，则类型运算符是函数。$F$

看到这如何与功能有关？IMO，这在Coq中将是一个非常不错的选择，因为它将使您更加轻松地进行通用编程。积极性检查的句法性质是通用编程的一大障碍，我很乐意将经典公理的可能性换成更灵活的功能程序。

编辑：您要问的Prop和Set之间的区别的问题是由于以下事实引起的：Coq开发人员希望允许您以幼稚的集合论术语考虑Coq定理，而不必强迫您这样做。从技术上讲，他们将Prop和Set分开，然后根据Prop的计算内容禁止集合。

因此，您可以将Prop解释为ZFC中的真值，即布尔值true和false。在这个世界上，所有命题证明都是平等的，因此很显然，您不应该依赖于命题证明。因此，根据Prop证明的计算内容来禁止集合是完全明智的。此外，2元素布尔型格显然是一个完整的格，因此它应支持强制性索引，因为存在任意集值满足。对集合的可预测性限制是由于这样的事实（如上所​​述），即在经典的集合论模型中F样式索引是退化的。

Coq还有其他模型（它是建设性的逻辑！），但要点是，它永远不会证明古典数学家会困惑的任何事情。

归纳定义和可折现性之间有着非常深的联系，但是我的理解是，在您所谈论的（im）可折现性方面并没有特别的相关性，并且该测试纯粹是为了确保单调性，因此定点理论可以应用，即归纳原理是明确定义的。（我愿意对此进行纠正。）

Coquand 在本次演讲中探讨了隐含性和归纳定义之间的关系。可以追溯到G. Takeuti从50年代得出的一些结论，即强制性定义可以简化为归纳性定义。这本书

• 分析的强制性子系统的证明理论-物理科学专着和教科书2作者：W。Buchholz，K。Schutte

如果可以帮助您，请对该主题进行很好的分析。这些幻灯片提供了概述。

仅仅为了完成尼尔的出色解释，泛泛性就具有“柔和”的含义：通过使用对自身的引用来定义集合或集合。从这个意义上说：

Inductive Lam : Set :=
| Var : Nat -> Lam
| App : Lam -> Lam -> Lam
| Abs : (Lam -> Lam) -> Lam

是强制性定义，因为它定义了归纳类型，使用函数空间（Lam-> Lam）的Lam引用了集合本身。在这种情况下，不可预测性是有害的：可以使用Cantor定理证明False。实际上，这与不可抗拒性是同一品牌，它剥夺了朴素的集合论作为数学的基础。因此，在Coq中不允许这样做。另一种非直谓性的形式是不允许的，因为大家都知道：

Definition Unit : Prop := forall X:Prop, X -> X

Unit作为命题的定义引用了它是其成员的所有命题的集合。但是，出于某种原因，我对这种隐晦的了解并不有害，因为它在ZFC中以无界理解的形式存在（众所周知）。

总而言之，定义中归纳类型的否定出现是一种强制性形式，但在将CoC称为强制性框架时通常不是这种形式。