对于有效图算法的设计，稀疏性最重要的概念是什么？

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“稀疏图”有几种相互竞争的概念。例如，可以将可嵌入表面的图视为稀疏图。或具有边界边缘密度的图。或具有高周长的图形。具有大展开图。具有有限树宽的图。（即使在随机图的子字段中，它在所谓的稀疏性方面也有点含糊。）等等

哪种“稀疏图”概念对有效图算法的设计影响最大，为什么？同样，“密集图”的概念是什么？（注：Karpinski在一个密集图的标准模型的近似结果上进行了大量工作。）

我刚刚看过J. Nesetril关于他（与P. Ossona de Mendez）一起在统一（渐近）框架内捕获图形稀疏性度量的程序的演讲。我的问题-是的，也许是很主观的，并且我希望有不同的阵营-的动机是希望对算法中使用稀疏性有多方面的了解（并填补我对问题的理解的任何空白）。

— J
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您是否认为完整的图也很稀疏？完整的图具有较大的扩展性和有界的集团宽度。

— 冈本

@冈本佳夫（Yoshio Okamoto）：好点-我想树宽在那里是个更好的选择……

— RJK

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您提到的J. Nesetril和P. Ossona de Mendez的程序现在是一本书。

— vb le 2013年

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我认为，按照任何合理的标准，必须将n×n×n的三维网格图视为稀疏的，并且排除了涉及曲面嵌入或次要元素的大多数候选定义。（不过，亚线性树宽仍然可能。）

我当前最喜欢的稀疏性度量是退化。在图的顶点的所有线性排序中，图的简并性是图的有向无环取向中的最大向外度的最小值，该最大无度是通过将顺序中的每个边从早到晚的顶点定向而形成的。同样，在所有子图中，它是子图中最小度的最大值。因此，例如，平面图的简并度为5，因为平面图的任何子图的度数顶点最多为5。简并性很容易在线性时间内计算，并且来自定义的线性排序在算法中很有用。

简并性是其他一些标准度量（包括树状度，厚度和任何子图的最大平均度）的不变因素，但我认为这些很难使用。

— 大卫·埃普斯坦
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这是一个很好的答案。它强调了在考虑稀疏图时，看似简单的结构（如网格）通常会导致恶作剧。（考虑到网格未成年人对Robertson-Seymour理论的重要性，我想这并不奇怪。）是否可以说退化对贪婪算法就像树宽对动态规划一样重要？也许还有更多关于稀疏性措施的说法，这些措施暗示着良好的有序性，例如路径宽度？

— RJK

@RJK：将这一论点说得极端一点，3规则的平面网格（六边形网格/壁图）具有无限的树宽，但几乎是稀疏的。

— 安德拉斯·萨拉蒙

@Andras：当然，但是树形宽度较小且不稀疏的图怎么样？从这种（单向）意义上来说，我认为树宽也可以作为稀疏性度量。

— RJK

k

$k$

n

$n$

k

$k$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

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稀疏性似乎确实有许多“好的”概念，但是对于稀疏性的结构性概念，它们具有某种模型理论上的味道，因此具有某种层次结构。我认为这些对有效的图形算法有很大的影响。

$k$ $K_{k+2}$

2010年11月以来，Anuj Dawar的课程笔记还讨论了本地有界树宽，这与被排斥的未成年人是无法比拟的。有界度清楚地定义了稀疏图，并且这种图具有局部树宽，但是不能由一组排除的未成年人来定义。

有界度的影响是显而易见的：它常常是使棘手的问题变得易于解决的首批限制之一，例如，有界度图的Luks图同构算法。至少以有界树宽为幌子，排斥未成年人的影响也很明显（如Suresh所指出的）。

局部排除未成年人的概念概括了局部有界树宽和已排除的未成年人，因此构成了层次结构中的“最一般”类。但是，尚不清楚如何在实际算法中使用此属性。甚至排除未成年人的“易处理”案例也不一定具有良好的实用算法；在模型理论算法中，存在大量常量。我确实希望从长远来看，这些类中的一些将具有实用的算法。

另请参阅我的答案对于次要排除图，什么容易？了解更多相关评论。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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我想不出任何图形属性对有效率的算法设计的影响，就像有界的树宽和一般的二维性一样大。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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您好Suresh：我想说这是标题问题的“正确”答案，但是您愿意稍微充实您的帖子吗？我意识到这是基本的东西，但是我已经犯了一个错误，就是将一个宽度概念（cliquewidth）的有效性过度扩展为稀疏图。

— RJK

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可以将图视为邻接矩阵-矩阵稀疏性有多种定义（例如，零项的百分比），这些定义可以转换回图本身。除了零项的百分比外，重新排序下的矩阵带宽可能是图形稀疏性的良好代理（看起来带宽与退化有关）。

— lynxoid
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