排序对应的复杂度等级

TCS的两个部分是算法和复杂性。我简单地说，算法是对上限的研究，它表明您可以（在给定的受限资源下）做某事，而复杂性则是在显示没有一些最小的资源就无法做。

因此，经常在决策模型中陈述算法问题，以将其置于复杂性类别中。

但是，令我一直困扰的是，某些基本算法从来没有被完全提及属于某个特定类。一个例子是（比较）排序。尽我所能尝试，一个相关的类似乎太不足了（真的，是否只是在检查日志空间中对结果进行了排序？那似乎太弱了，或者我没有正确的决策版本）。

比较排序所处的最佳/最合适/最有用的复杂性类别是什么？

cc.complexity-theory sorting

— 米奇
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Answers:

对于（在 -reduction下），排序问题实际上已经完成。一个标准的来源是Vollmer的书的 1.4.3节。 $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC}^0$

注意是决策问题的类别，但我们通常将排序视为函数问题，即，我们要以不降序的顺序输出数字。但是，我们还可以将排序定义为决策问题，如下所示： $\mathsf{TC}^0$

给定一个数字和两个数字中的序列，我们想通过按非对进行排序来确定是否位于序列中的位置。请注意，为避免歧义，当，如果，我们希望在之前。 $a_1,\ldots,a_n$ $k,p\in [n]$ $a_k$ $p$ $a_1,\ldots,a_n$ $a_i=a_j$ $a_i$ $a_j$ $i<j$

— 戴乐
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优秀...指定为什么正式决策问题？

— 米奇

在您的答案中加入参考将是双重的。

— Oleksandr Bondarenko

@Mitch和@Okeksandr：感谢您的评论！我只是扩展了我的答案以阐明这些观点。

— 戴勒

这听起来像订单统计的决策问题。一切都放在正确的位置是否有相关的问题？给定序列和上的置换类的东西，确定。这和你一样难。包括课程更难或更完整吗？

a_{1} . . . a_{n}

$a_1...a_n$

σ

$\sigma$

[1.. n]

$[1..n]$

\forall_{1 \leq k < j \leq n}, a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$\forall_{1\le k\lt j\le n}, a_{\sigma_k} < a_{\sigma_j}$

— 米奇

@Mitch：我认为检查所有内容是否都在正确的地方实际上比排序容易。直观上，可以检查对于所有可能的对与并联，这相信是可以做到在。对于上述排序问题，您需要能够“计数”以找出数字在线性排序中的正确位置。

a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$a_{\sigma_k}<a_{\sigma_j}$

(a_{σ_{k}}, a_{σ_{j}})

$(a_{\sigma_k},a_{\sigma_j})$

k < j

$k<j$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— 戴勒

我相信FP是您想要的。

— 尼古拉斯·曼库索（Nicholas Mancuso）
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好吧，我是在寻找相关的决策复杂性类，而不是功能性类，但是即使如此，我还是可以肯定，比较排序在P-complete（或FP-complete）附近是不可能的，所以我期望预计将在/完成的较小班级。

— 米奇

我不知道完整性是您提出问题的条件之一。作为决策问题（如果不考虑完整性约束），为什么P不可以作为答案？使用DTM，您可以在多项式时间内生成和验证证书。

— Nicholas Mancuso

给定一个普遍的问题，我通常想知道的不仅是多项式时间，而且是可能存在的最小类。我想知道它是否在LOGCFL，NL，L，AC_0等中。是您“做不到”更好的一种方法。因此，尼特不是我的问题的要求，但答案中可能是有可能的。

— 米奇