的后果

作为一名TCS业余爱好者，我正在阅读一些流行的，非常入门的有关量子计算的材料。这是到目前为止我已经学到的一些基本信息：

1. 量子计算机无法解决多项式时间内的NP完全问题。
2. “量子魔术还不够”（Bennett等人，1997）：如果抛开问题结构，仅考虑可能解的空间，那么即使一台量子计算机也需要约$2^n$步骤来找到正确的步骤（使用格罗弗算法）$\sqrt{2^n}$
3. 如果找到了用于NP完全问题的量子多项式时间算法，则它必须以某种方式利用问题结构（否则，项目符号2会与之矛盾）。

我有一些（基本）问题，到目前为止，似乎没有人在此站点上问过（也许是因为它们是基本的）。假设有人发现了一个有界错误量子多项式时间算法（或任何其他NP完全问题），从而将小号甲Ť在乙Q P，并暗示Ñ P ⊆ 乙Q P。$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

问题

1. 这种发现的理论后果是什么？复杂性类别的整体情况将如何受到影响？哪些班级将与其他班级相等？
2. 这样的结果似乎表明，量子计算机比传统计算机具有天生的优势。诸如此类的结果对物理学有何后果？它会为物理学中任何未解决的问题带来一些启发吗？得出类似结果后，物理学会改变吗？我们知道的物理定律会受到影响吗？
3. 以足够普遍的方式（即独立于特定实例的方式）利用问题结构的可能性（或没有）似乎是P = NP问题的核心。现在，如果找到了的有界误差多项式时间量子算法，并且必须利用问题结构，那么它的结构-开发-策略在经典情况下是否也可以使用？是否有任何证据表明这种结构开发对于量子计算机而言可能是可行的，而对于经典计算机而言则是不可能的？$SAT$

我不会尝试回答第一个问题，因为像Scott Aaronson，Peter Shor或John Watrous这样的人无疑可以在这方面为您提供更全面的答案。

关于问题2，重要的是要注意，量子计算机实际上在许多情况下比经典计算机更强大：

1. 在很多问题上，量子计算机比经典计算机获得了相当通用的多项式加速。从复杂性的角度来看，这可能不如指数级加速那么有趣，但是我们可以实际证明这一点。
2. 对于相同的问题，量子通信的复杂度通常可以与经典的通信复杂度大相径庭。同样，这是可以证明的（例如，参见Mermin-GHZ游戏）。
3. 对oracle的量子查询通常比对同一个oracle的经典查询要强大得多（例如，参见Deutsch-Josza算法）。

考虑到这一点，已经知道量子计算机从根本上比传统计算机更强大。我想说的很对，大多数从事此类工作的物理学家已经假设不可能找到有效地模拟每个量子系统的经典算法，因此，结果表明BQP中包含NP当然令人惊讶，在理解任何特定物理现象方面不会特别有突破。相反，它将提供更强有力的证据来证明量子物理很难模拟。

没有基本的物理学依赖于模拟它的计算复杂性，因此为NP完全问题找到有效的量子算法不会对我们目前对宇宙如何起作用的正确性产生根本性的影响（尽管我倾向于同意斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）的建议：有趣的是，看看您是否可以从计算假设中得出物理定律。

极具诱惑力的是，这将对量子系统的绝热演化产生影响（我想您可能会得到一两个答案），但这是不正确的，因为它们受特定的物理过程支配。 ，因此证明从原理上说，有可能在量子计算机上的多项式时间内求解SAT，而不会说出它们的具体演化。

关于您的最后一个问题，我们已经有使用问题结构生成多项式量子算法的示例，但是这些示例并没有得出这样的经典算法（例如分解）。因此，就我们目前的理解而言，结构可用于产生多项式时间量子算法的问题并不意味着该结构可用于产生经典多项式时间算法。

斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）常常喜欢指出（假设他还不厌倦这样做，也许仍然喜欢指出）物理过程并不总是能找到能源格局的全局最小值。特别是，如果您要将一个NP完全优化问题的实例表达为物理系统的能量最小化问题，那么无论是理论上还是经验上，都没有理由相信这样的物理系统将在之后“放松”需要一段时间来解决该问题（即  ，能量配置为全局最小值）。它更可能会放松到局部最小值：对于这种情况，略有不同的配置需要更多的能量，但是在本质上不同的配置可能需要较少的能量。

所以，虽然证明了NP  ⊆  BQP将是第一顺序的胜利-对所有复杂性理论家，不仅对量子计算理论-这将表明，有一种“物理”计算模型等待被发现了一个全新的理论。为什么？好吧，计算模型可以解释为物理模型（尽管是高度专业化的模型）：即，哪些计算资源在物理上是合理的。其中一个量子计算的“口号”的是Nature isn't classical, [darn] it^† -所以，除非你可以在经典计算机上模拟量子力学中，你可以实际有效地计算几乎是肯定要比更强大的P。但是，我们有证据表明它的功能不如NP; 所以它必须是小于强大BQP为好，如果有凑巧，NP  ⊆  BQP。

所以，证明NP  ⊆  BQP将呈现给我们一个三难选择：要么

1. 量子电路能够有效地模拟经典计算机上，证明NP  ⊆  BQP  ⊆  P，从而超过每理论家的做梦或恶梦;
2. 不能在经典计算机上模拟量子电路，但是可以构建可扩展的量子计算机来解决NP中的问题，从而引起人们对量子计算的真正爆炸性兴趣，并确保实验物理学家在可预见的将来具有职业安全性；
3. 在功率的P和BQP之间，还有一个等待发现的计算模型，它描述（或更确切地说，是更好的）物理上可有效计算的东西。

我怀疑聪明的钱会排在第三位，从学术的角度来看，它会像第一或第二位一样有趣。

^†  向费曼道歉，我怀疑费恩曼并不经常屈服于他的诅咒。