m >> n机制中的球和箱分析。

众所周知，如果将n个球扔进n个料箱中，则负载最大的料箱中很可能装有 $O(\log n)$ 球。通常，可以在垃圾箱中询问 $m > n$ 球。Raab和Steger于RANDOM 1998年发表的一篇论文对此进行了较为详细的研究，结果表明，随着增加，甚至超过的期望值的几率迅速降低。粗略地讲，设置，他们表明看到概率大于的可能性。 $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ 为 $o(1)$ 。

这篇论文发表于1998年，但直到最近我才发现。这些方面是否有新的甚至更集中的结果，还是有启发式/正式的理由怀疑这是最好的结果？我应该补充一点，安吉莉卡·斯蒂格（Angelika Steger）在2006年合着的有关多项选择变体的相关论文也没有引用任何最新的著作。

更新：针对Peter的评论，让我澄清一下我想知道的事情。我在这里有两个目标。

首先，我需要知道要引用哪个参考，这似乎是关于此的最新工作。
其次，的确，在r = 1的范围内，结果非常严格。我对m >> n范围感兴趣，特别是对r可能是poly log n甚至n ^ c的领域。我正在尝试将此结果放入我证明的引理中，并且r上的特定范围控制整个算法的其他部分。我认为（但不确定）本文提供的r的范围可能就足够了，但是我只是想确保没有更严格的界限（这会产生更好的结果）。

reference-request pr.probability

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
source

我从标签中得知了“居住问题”这个名字，因此感谢您发布教育性问题。:)

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

看着Raab和Steger的论文，对我来说很难弄清楚沿着这些思路您想要进一步的结果。您是否需要知道一个特定的问题的答案？如果是这样，您应该在此处或在MathOverflow上询问。特别是，如果

r = m / n

$r=m/n$ ，则Raab和Steger给出

的严格界限

其中

是正确的常数。

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— Peter Shor

@Peter我将编辑问题：这是一个有效的观点。

— Suresh Venkat

并不是真正的完整答案（也不是有用的参考），而只是一个扩展的注释。对于任何给定的垃圾箱，在垃圾箱中恰好有球的概率将由 $B$ 。我们可以使用因桑多 $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ ，得到 $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ ，其中 $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ 。请注意，由于 $r=\frac{m}{B}-1$ 。 $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

因此，我们有。现在，既然你有兴趣在寻找的概率中我们可以考虑一个垃圾桶或更多的球 $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$ . Rearranging the terms, we get

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

Note the summation above is merely a geometric series, so we can simplify this to give

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$ If we rewrite

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$ terms using exponentials, we get

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$ which then becomes

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

Now, I take it you care about finding some $B$ such that $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ for some constant $C$ , since this gives the total probability of any bin having $B$ or more balls as bounded from above by $C$ . This criteria is satisfied by taking

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$ which can be rewritten as

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.

— Joe Fitzsimons
source

this is pretty awesome. thanks for the outline.

— Suresh Venkat

@Suresh: Glad it's useful.

— Joe Fitzsimons