m >> n机制中的球和箱分析。


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众所周知,如果将n个球扔进n个料箱中,则负载最大的料箱中很可能装有O(logn)球。通常,可以在n个垃圾箱中询问m>n球。Raab和Steger于RANDOM 1998年发表的一篇论文对此进行了较为详细的研究,结果表明,随着m的增加,甚至超过m / n的期望值的几率迅速降低。粗略地讲,设置r = m / n,他们表明看到概率大于r + 的可能性。nmm/nr=m/nr+rlogno(1)

这篇论文发表于1998年,但直到最近我才发现。这些方面是否有新的甚至更集中的结果,还是有启发式/正式的理由怀疑这是最好的结果?我应该补充一点,安吉莉卡·斯蒂格(Angelika Steger)在2006年合着的有关多项选择变体相关论文也没有引用任何最新的著作。

更新:针对Peter的评论,让我澄清一下我想知道的事情。我在这里有两个目标。

  1. 首先,我需要知道要引用哪个参考,这似乎是关于此的最新工作。
  2. 其次,的确,在r = 1的范围内,结果非常严格。我对m >> n范围感兴趣,特别是对r可能是poly log n甚至n ^ c的领域。我正在尝试将此结果放入我证明的引理中,并且r上的特定范围控制整个算法的其他部分。我认为(但不确定)本文提供的r的范围可能就足够了,但是我只是想确保没有更严格的界限(这会产生更好的结果)。

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我从标签中得知了“居住问题”这个名字,因此感谢您发布教育性问题。:)
伊藤刚(Tsuyoshi Ito)

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看着Raab和Steger的论文,对我来说很难弄清楚沿着这些思路您想要进一步的结果。您是否需要知道一个特定的问题的答案?如果是这样,您应该在此处或在MathOverflow上询问。特别是,如果r=m/n,则Raab和Steger给出r + 严格界限其中2是正确的常数。r+2rlogn2
Peter Shor

@Peter我将编辑问题:这是一个有效的观点。
Suresh Venkat

Answers:


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并不是真正的完整答案(也不是有用的参考),而只是一个扩展的注释。对于任何给定的垃圾箱,在垃圾箱中恰好有球的概率将由p B = mB。我们可以使用因桑多b+1apB=(mB)(1n)B(n1n)mB,得到pB<r+1r+1((b+1)aa)<((b+1)b+1bb)a,其中r=mpB<((r+1)r+1rr)B(1n)B(n1n)mB。请注意,由于b+1ar=mB1((b+1)aa)>14ab((b+1)b+1bb)a

因此,我们有。现在,既然你有兴趣在寻找的概率中我们可以考虑一个垃圾桶或更多的球p = Σ b = p b <pB<eB(r+1)ln(r+1)Brlnrmlnn+(mB)ln(n1)BpB=b=Bmpb<b=Bmeb(r+1)ln(r+1)brlnrmlnn+(mb)ln(n1). Rearranging the terms, we get

pB<emlnnn1×eB(r+1)ln(r+1)BrlnrBln(n1)b=0mBeb(r+1)ln(r+1)brlnrbln(n1).

Note the summation above is merely a geometric series, so we can simplify this to give

pB<emlnnn1×eB(r+1)ln(r+1)BrlnrBln(n1)×1((r+1)r+1rr(n1))mB+11((r+1)r+1rr(n1)).
If we rewrite (r+1)r+1rr(n1) terms using exponentials, we get
pB<emlnnn1×eB(r+1)ln(r+1)BrlnrBln(n1)×1(e(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1))mB+11e(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1),
which then becomes
pB<emlnnn1×(eB((r+1)ln(r+1)rlnrln(n1))e(m+1)((r+1)ln(r+1)rlnrln(n1)))1e(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1).

Now, I take it you care about finding some B such that pB<Cn for some constant C, since this gives the total probability of any bin having B or more balls as bounded from above by C. This criteria is satisfied by taking

emlnnn1×(eB((r+1)ln(r+1)rlnrln(n1))e(m+1)((r+1)ln(r+1)rlnrln(n1)))1e(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1)=Cn,
which can be rewritten as
B=ln(Cnemlnnn1(1e(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1))+e(m+1)((r+1)ln(r+1)rlnrln(n1)))(r+1)ln(r+1)rlnrln(n1).

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.


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this is pretty awesome. thanks for the outline.
Suresh Venkat

@Suresh: Glad it's useful.
Joe Fitzsimons
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