一棵树加上一半的边缘可以有多大的树宽？

令G为2n个顶点上的树。G的树宽，tw（G）=1。现在假设我们向G添加n条边以获得图H。tw（H）的简单上限是n +1。这实际上是最好的方法吗？

似乎tw（H）应该是O（sqrt（n）），但这只是一个模糊的预感。通过在2n个顶点上将n个边加到树上获得的图的树宽，我们知道比O（n）更好的上限吗？

您的模型的通用性实际上不亚于询问任意的3个正则图，并且3个正则展开图具有线性树宽。所以我不知道常数因子，但是Θ（n）最好，是的。

正如David指出的那样，您基本上要求平均度数为3的连通图的树宽上的界限。对于3正则图的更特殊情况，可以得到以下上下界。用pw（G）表示图G的路径宽度，显然

（1）tw（G）<= pw（G）对于任何图G（因为路径分解是树分解）

在[1]中证明

（2）对于每个\ epsilon> 0，存在一个整数n_0，使得对于n> = n_0顶点上的任何3个正则图G，pw（G）<= n / 6 + \ epsilon * n。

这为3个正则图的树宽提供了大约n / 6的上限。

对于几乎可以肯定的下限，我引用[2]：

“因为随机立方图几乎肯定具有至少为0.101 n的二等分宽度（Kostochka，Melnikov，1992），所以它们几乎肯定没有大小小于n / 20的分隔符”，因此几乎肯定没有宽度小于n / 20的树分解。

对于“等分”宽度的“确定”下界，[3]显示了一个无限的三正则图族，因此该族中的每个图G =（V，E）的等分宽度至少为0.082 * | V |。

[1] Fedor V. Fomin，KjartanHøie：三次图的路径宽度和精确算法。Inf。处理。来吧 97（5）：191-196（2006）

[2] Jaroslav Nesetril，Patrice Ossona de Mendez：研究生和有限扩展类II。算法方面。欧元。J.梳 29（3）：777-791（2008）

[3] Sergei L. Bezrukov，RobertElsässer，Burkhard Monien，Robert Preis，Jean-Pierre Tillich：在图二等分宽度上的新光谱下界。理论。计算 科学 320（2-3）：155-174（2004）