将n次多项式相乘

问题是要计算多项式。假设所有系数都适合一个机器字，即可以在单位时间内进行操作。 $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

您可以通过以树形式应用FFT 来进行次。你能做吗？ $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— 米海
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很好的问题，似乎我在某人的博客中看到了类似的内容，但我不记得它在哪里。

— Grigory Yaroslavtsev

次要观察：我们知道（在Q，比如说工作）的n根

，所以这个问题就相当于：鉴于

，计算多项式

。（我猜是）

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

您可以参考

结果吗？

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

如@Suresh所述，这是一种简单的分而治之的方法。可以将其概括为n个多边形的

可以不同，在这种情况下，您可以以霍夫曼树的形式划分。请参阅Strassen：连续分数的计算复杂性。

d_{i}

$d_i$

— Zeyu 2010年

我们可以在时间

计算

个常数为2的向量的卷积吗？

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— 卡韦

警告：这还不是完整的答案。如果合理性的论点让您感到不适，请停止阅读。

我将考虑一个变体，我们要在复数上乘以（x-a_1）...（x-a_n）。

问题是评估n点处的多项式是双重的。我们知道，当这些点恰好是单位的第n个根时，可以在O（n log n）时间内巧妙地完成此操作。这充分利用了位于快速傅立叶变换基础上的正多边形的对称性。该变换有两种形式，通常称为时间抽取和频率抽取。在基数2中，它们依赖于偶数边规则多边形的一对对称对：互锁对称（正六边形由两个互锁的等边三角形组成）和扇形展开对称（将正六边形切成两半并像扇形一样展开）成等边三角形）。

从这个角度来看，对于任意n个点集而没有特殊对称性的O（n log n）算法似乎非常不切实际。这意味着与复杂平面中的随机点集相比，规则多边形在算法上没有什么例外。

— Per Vognsen
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Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

真正！我希望我有一个更明确的答案。非常有趣

— Per Vognsen

赏金奖励！

— Jeffε

@PerVognsen：您能为以下观点提供参考吗：多边形的对称性/互锁的对称性？或者，如果这是对您自己的观察，您是否可以进一步扩展？

— 2012年