永久的

让 $A$ 成为 $3 \times 3$ 或 $4 \times 4$ 带条目矩阵 $a_{ij}$。有人可以给我一个矩阵吗$B$ 以便 $\operatorname{per}(A) = \det(B)$？使得已知的最小显式是多少？对此有明确示例的参考吗？$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

一些限制可能是以下情况：

情况仅允许线性函数作为条目。$(1)$$B$

情况允许使用非线性函数，前提是每一项都具有度（度是变量度的总和），其中是所涉及矩阵的大小。在我们的案例中，最高为。$(2)$$O(log(n))$$n$$2$

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1. 为了保持一致，我将表示法从切换为。$c(n)$$dc(n)$
2. vs在评论中问我的答案是否适用于更高的维度。它可以做到并给出任何字段的上限： 请参阅以下内容的我的草案：永久性与决定性问题的上限。 $$dc(n)\le 2^n-1.$$

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[旁注：我认为您可以编辑上一个问题，而不用创建一个新问题。]

我为您提供以下答案：

$$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

请注意，在查找有关显式示例的参考时，我找不到任何示例，因此，我提供给您的示例就是我构建的示例。

您提出的这个问题通常称为“永久性与行列式问题”。假设我们给出一个矩阵，我们希望最小的矩阵使得。让我们用表示最小的的尺寸。以下是历史结果：$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [Szegö1913]$dc(n)\ge n+1$
• [von zur Gathen 1986]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [Cai 1990]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [Mignon＆Ressayre 2004] 特征$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [Cai，Chen＆Li 2008]特征。$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

这表明（上限是上面给出的矩阵）。$5\le dc(3)\le 7$

由于我很懒，我只给您一个参考，您可以在其中找到其他参考。这是蔡，陈和李引用的最新论文：关于任何特征的永久性和行列式问题的二次下界$\neq 2$。

如果您阅读法语，也可以浏览一下我在此主题上的幻灯片：永久与确定性。