P的不确定属性是否妨碍P和NP的确定？（答案：也许）

提出了五个链接的问题，并希望有一个综合的答案：

• Q1：你的存在语言被识别仅由那些图灵机 ，其运行时的指数是不可判定的？$L$$P$
• 问题2：能否有限构造图灵机的示例？
• Q3：这些图灵机可以具体实例化吗？（例如，由甲骨文“猜测”它们而不是有限地构造它们）。
• 问题4：目前已知P的其他哪些属性（运行时指数除外）是不确定的？什么属性开放？$P$
• 问题5：的不确定属性是否会阻碍的可确定性？P ≠ N P$P$$P \ne NP$

请注意第1 季度中的 “唯一”一词（不包括Lance Fortnow的建议答案）。

结论和社区维基的转换

• 被问到的一个问题是：“ P的不确定特性是否会阻碍P与NP的决定？”这一问题是开放的，并且被认为是困难的，与之自然相关的许多具体问题（如上述Q1-4）也是如此。

• Juris Hartmanis的1978年专着《可行的计算和可证明的复杂性》提供了很好的参考文献，并且（显然）自Hartmanis以来没有发表过任何评论。

• 此类问题尚未得到充分探讨，以致于找到严谨证据的挑战与选择良好起始定义的挑战紧密地混合在一起。

• Travis Service和Alex 10 Brink提供的周到评论和有见地的证明草图受到人们的认可和赞赏。

因为这个问题是开放的，因为它正在多个数学博客线程讨论（1，2，3，4，5，6），这一问题已被标记用于转化为社区维基。

更新二和摘要

我已经意识到，Juris Harmanis的1978年专着《可行的计算和可证明的复杂性》可以理解为对Q1-5的深入回应。此外，下面由Travis Service和Alex 10 Brink提供的（出色的）Q1和Q4证明草图提供了对Hartmanis总体结论的现代肯定和扩展：

如果仅考虑可以正式证明的计算属性（Hartmanis强调），则有关计算复杂性的结果将发生根本性的变化 ...

因此，我们应该期望，关于与给定程序计算相同功能的所有程序的最优性结果将不同于可以正式证明与给定程序等效的所有程序的最优性结果。...

我们[应该]考虑以下可能性：这个著名的问题[ ]在形式化数学理论（例如集合论）中可能。$P\overset{?}{=}NP$

从Hartmanis的专着以及Travis和Alex提供的答案中可以明显看出，Q1-5大大超出了当前复杂性理论的最新水平。此外，这些问题/答案显然非常微妙，需要进行仔细的定义调整并证明专论长度的论述是正确的……我希望这不会妨碍人们发表进一步的答案。:)

有关进一步的技术讨论，请参阅乔尔·戴维·哈姆金斯（Joel David Hamkins）对MathOverflow的回答，即问题是否可以同时是多项式时间和不确定的？（由亚历克斯·十·布林克推荐）。

如果在Hartmanis的专着中用“动态计算”一词代替“功能计算”，则结果可以看作是有关系统工程的复杂性-理论极限的论文……这就是我们工程师关心这些的实际原因。问题。

Oded Goldreich最近在给CACM编辑的一封信中提到了与Hartmanis形成鲜明对比的一封信，标题为“关于计算复杂性”：

不幸的是，我们目前对有效计算的大多数自然问题缺乏良好的理论答案。出现这种情况并不是因为我们提出了错误的问题，而是因为这些问题非常艰巨。

（当然）完全可以想象，哈特曼尼斯和戈德赖希的观点都将被证明是正确的，例如，关于PvsNP可分离性不确定性的正式证据可以合理地视为对两个观点的验证。

更新我

Travis Service和Alex 10 Brink经过深思熟虑的评论（如下）表明（实际上）在Q1中，短语“ undecidable”与“ not notverifiable decidable ”不是同义词，对Q2-5的回答 可能取决于这一区别。（对我而言）尚不清楚哪种定义选择会导致最强的定理，并且也最好地抓住了我们对P类的直觉。欢迎回答和提出有关此问题的评论。

费利克斯·克莱因（Felix Klein）在他的《基础数学》中从高级观点：《几何学》（Geometry）（1939）中的一句话想到：

（任意）曲线的概念是在天真的空间感知中或多或少地出现的一个概念的另一个例子，我们必须添加它作为几何系统的补充。每个人都相信，直到他学到了如此多的数学，以至于无数可能的异常使它们困惑，他才知道曲线是什么。

与曲线一样，图灵机在接受的语言也是如此 ……在我看来，曾经像所有复杂度类中最简单，最自然的那种现在让我困惑，其成员的（无数？）无法验证和/或不确定的属性。提出问题1-5的广泛动机是找到一条解决方法，以解决这个令人困惑的灌木丛，但是到目前为止给出的答案（由Travis Service和Alex十Brink提出）为混乱提供了进一步的依据！$P$

克莱因（Klein）的那一代数学家竭尽全力为曲线和集合论，几何学和分析的其他基本要素找到良好的定义。可以在Wikipedia的Alexander Horned Sphere讨论中找到基本概述。

      
      在R3中嵌入球体

在20世纪，对“狂流形”（如亚历山大球体）的分析有助于弄清楚拓扑流形，分段连续流形和微分流形之间的区别。同样在21世纪，也许与相关的定义的细化将有助于驯服的野性语言和野性的图灵机……尽管指定合适的细化绝非易事。$P$$P$

背景

这些链接的问题来自MathOverflow社区Wiki问题“ 什么是最有吸引力的图灵不确定性数学问题？ ”和“ 在现代数学中使用了哪些概念但没有明确定义？ ”特别是，Colin Tan要求将上述问题作为单独的问题发布。

有关技术背景，请参见TCS StackExchange问题“ P中的运行时边界是否可确定？ ”，尤其是Emanuele Viola的简洁证明，即答案为“否”。还要注意，Juris Hartmanis在其专着《可行的计算和可证明的复杂性》（1978年）中也证明了类似的结果。

本周兰斯·福尔瑙/比尔GASARCH博客计算复杂托管他们的十年调查“ 是否不？$P=NP$ ” -第五和最后一个问题时的Fortnow / GASARCH问题提出邀请的评论。

对于问题1，答案是否定的。令为的语言，令为可识别任何多项式时间图灵机（假定其运行时间不确定）。对于每个让是图灵机上输入长度的第一环为步骤然后运行上为步骤和接受如果接受（内那些步），否则拒绝。的运行时为P 中号大号ķ ∈ Ñ 中号ķ X Ñ Ñ ķ中号X Ñ ķ + ķ 中号X Ñ ķ + ķ 中号ķ Θ （Ñ ķ）$L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$$M_k$$\Theta(n^k)$每个。$k$

由于在多项式时间内运行，因此存在，使得在（即使我们不知道是什么），因此对于所有足够大的识别并具有可确定的运行时间。ķ ' ∈ ñ中号ø （Ñ ķ '）ķ ' ķ 中号ķ$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

编辑

我认为以下回答更符合原始海报对问题1的意图。

定理：存在一种语言，使得如果是任何决定图灵机，则至少满足以下条件之一：Ñ $L \in P$$N$$L$

1）没有证据表明接受，或者$N$$L$

2）没有证据表明在步中停止（对于任何函数）。f （n ）f （n $N$$f(n)$$f(n)$

证明草图： 假设为不会在空白磁带上停止并且没有证据表明在空白磁带上没有停止的图灵机（Hartmanis和Hopcroft在《计算机科学》中的独立结果表明这样的可以被有效发现）。M $M$$M$$M$

令。$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

由于不会停止，因此实际上是空的语言，但是没有任何证明（因为这将证明不会停止）。L $M$$L$$M$

令为任何图灵机。如果同时存在决定的证明和以步长运行的证明，则在输入上运行时执行既可以证明暂停（即，如果接受），也可以证明执行不停止（即，如果拒绝）。因此，如果可证明地决定则的运行时间不可决定，反之亦然。N L N f （n ）N 1 M N M N N L $N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

是的，您可以构建一台花费时间DTIME（）-DTIME（n i）的机器，其中i是特定图灵机停止空白磁带所采取的步骤数。易于构造和类似的构造几乎适用于P的任何非平凡方面。几乎没有告诉我们P v NP是否不可确定：尽管存在相同的问题，证明P ≠ EXP也没有问题。$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

在对这个问题进行了更多思考之后，我想我为您的第四季度找到了一个（可能的）答案。

• 问题4：目前已知其他哪些属性（运行时指数除外）是不确定的？P的什么属性开放？$P$$P$

我证明了赖斯定理的一个变体，它回答了您关于大多数性质的问题。这次我将尝试更清楚地说明自己（Travis Service的答案比我以前的答案更清晰，更笼统）。

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

我可以否定地回答您的Q1，从而也可以否定地回答Q2和Q3。我不确定第四或第五季度。

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

这种关于不可判定性的思考显然是很普遍的，我记得在一个博客上有一个非常相似的问题：问题是“是否可以判定Pi是否具有'最后一个零'”，因此Pi是否在其终止时不再具有零。小数表示法，如果您下降到足够多的表示法。我们目前不知道是否是这种情况。我们甚至可能永远无法证明它，或者它甚至可能独立于我们的公理系统（因此无法证明）。但是，由于答案是对还是错，因此，返回真值的TM和返回假值的TM决定是哪种情况，因此可以确定问题。

我将看看是否可以在互联网上的某个地方找到该帖子。

编辑：

我在Mathoverflow上找到它。