规则图中的电导率和直径

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

更具体地，假设我知道直径至少（或最大）。这对电导率有什么启示（如果有的话）？相反，假设我知道电导最大为（或至少）为。这告诉我关于直径的什么信息（如果有的话）？ $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— 罗宾逊
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似乎您要询问的属性是图形扩展而不是图形电导，它定义为，其中被定义为。您想要哪一个物业？

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— 张显之张张之之2011年

@ Hsien-Chi Chang-由于该图是规则的，因此我相信电导和扩展在阶乘数之前应该是相同的。

d

$d$

— 罗宾逊

啊，我没有注意到图表是规则的。感谢您的解释。

— 张显之张张之之2011年

@ Hsien-ChihChang张显之：我认为图扩展和图电导是相同的概念。您的评论中是否有关于定义的参考？

— Tim

正如谢先生所指出的，您对电导的定义与我所知的定义相差倍，其中是正则图的度数。这也称为规则图的边扩展。 $d$ $d$

边缘扩展和直径之间的关系非常容易显示。直观上，扩展器“像”完整的图，因此所有顶点彼此“接近”。更正式地，让

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

采取任何顶点集合与。至少有边缘从出来，并且由于为正则，所以的邻域（包括本身）的大小至少为。对于任何顶点，从开始以归纳方式应用此声明。 $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ ，我们看到对于某些，的跳邻域的大小至少为。因此，的任何顶点的-hop附近具有相交的-hop附近，或图形将具有多于顶点，一个矛盾。所以你有了 $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

当然，随之而来的是，在直径上具有下限意味着在边缘扩展上具有上限。

我认为小直径并不意味着电导。如果您不坚持使用正则图（并使用Hsieh的定义），则由一条边连接的两个完整图将提供一个反例。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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我将要发布答案，现在我不必这样做，我可以简单地投票给您；）感谢您的答复！

— 张显之（张显之）2011年

我希望将您和我花在研究上的总时间减至最少：)

— Sasho Nikolov

@robinson：这个简单的事实和快速混合是正则图的扩展器族的许多（大多数？）应用的基础。例如，小直径属性是解决对数空间st连接的应用程序的基础

— Sasho Nikolov

我最初的答案有一个错误：我写的论点是关于顶点扩展的，但是我们在这里使用边扩展。我已经修复了该错误，并且现在的范围更糟了

— Sasho Nikolov