测试可以表明没有错误吗？

$(n + 1)$个点才能唯一确定次数的多项式；例如，平面中的两个点恰好确定了一条线。$n$

给定以固定语言计算的程序的长度，唯一确定可计算函数需要多少点？（即的Kolmogorov复杂度的界）。f $f : N \rightarrow N$$f$$f$

这个想法是，至少在理论上，可以通过进行足够的测试来证明程序的正确性。

如果一个具有程序长度的，计算˚F，有一个键合上的可与至多一个源长度被计算的功能的数量大号。大号˚F $P$$L$$f$$L$

因此，“仅”需要证明：

• $f$ 可以用源长度$\leq L$
• $P$不计算任何其他可计算为$L$个字节或更少字节的函数（通过测试）

这个想法可能没有实际的后果（界限肯定是指数的）。

（这只是作为评论，但持续了很长时间）。非常有趣的问题。如果您愿意考虑除Kolmogorov之外的其他复杂性度量，那么学习理论中的一些答案可能会让您满意。我把它留给该地区的专家。

例如，如果我没记错的话，Valiant在“可学习的理论”中证明，只要在其k-CNF公式的大小（对于任何固定k ，我的意思是“正点”形式）。$(x_1,\ldots,x_n,1)$

在Knuth的TAOCP 7.2.1.6中，它以惊人的方式（使用圣诞树模式）显示出，要重建一个Monote布尔函数（即，每个变量不减少），您需要精确地分。${n+1 \choose \lfloor n/2\rfloor+1}$

要继续按照Deigo的回答行事，学习理论的标准样本复杂性边界告诉您，如果您对找到“近似正确”的程序感到满意，则根本不需要尝试太多。可以说我们是以二进制形式编码程序，因此只有程序的长度为d。还假设输入示例存在一些分布。也许您的目标是找到一个您肯定确定是正确的程序（“可能近似正确”，即在Valiants PAC学习模型中）。也就是说，要运行一个算法，将在一个小样本连同，并且将与概率至少 d X 〜d ˚F （X ）（1 - δ ）P ˚F （1 - ε ）$2^d$$D$$x \sim D$$f(x)$$(1-\delta)$输出某些程序，其与一致上至少一个的从绘制输入分数。 $P$$f$$(1-\epsilon)$$D$

我们将简单地绘制示例，并输出与所有示例上的一致的，长度为任何程序（因为我们假设最多具有 Kolmogorov复杂度，所以保证存在一个）。X 〜d P ≤ d ˚F ˚F $m$$x \sim D$$P$$\leq d$$f$$f$$d$

什么是概率特定程序是不同意上一个多的例子分数是一致的，我们选择的例子吗？最多为。我们希望使该概率最大为以便我们可以对所有程序进行并集约束，并说概率至少为，没有“坏”程序是一致的与我们绘制的示例。通过求解，我们看到仅以 为例就足够了 。（即的Kolmogorov复杂度仅线性地˚F ε 米（1 - ε ）米 δ / 2 d 2 d 1 - δ 米≥ $P$$f$$\epsilon$$m$$(1-\epsilon)^m$$\delta/2^d$$2^d$$1-\delta$

顺便说一句，类似这样的论点可以用来证明“奥卡姆剃刀”的合理性：给定一定数量的观察结果，在所有解释它们的理论中，您应该选择具有最低Kolmogorov复杂度的理论，因为过拟合的机会最少。

当然，如果您只想以这种方式检查单个固定程序，则只需要示例...$O(\log(1/\delta)/\epsilon)$

这是一个简单的答案：假设，那么你需要知道的价值在所有指向唯一确定点。因此，除非您以某种方式知道程序的长度非常短：比短得多，否则您绘制的方法根本没有帮助位。$L \ge \lg |N|$$f$$|N|$$f$$L$$\lg |N|$

考虑的功能的家庭，其中被定义为函数，如果和，如果。请注意，计算的Kolmogorov复杂度约为lg |。N | 位，因为您可以在源代码中对i的值进行硬编码，然后您只需要一个简单的条件语句（额外增加O （1 ）个）。$F=\{f_i:i\in N\}$$f_i$$f_i(x) = 1$$i=x$$f_i(x)=0$$i\ne x$$f_i$$\lg |N|$$i$$O(1)$

但是，你不能区分从全零的功能，除非你在输入测试我。除非您对输入i或j进行测试，否则无法将f i与f j区分开。因此，你需要评估˚F在所有| N | 输入，唯一地确定哪些˚F 我，我们正在处理。（好的，从技术上讲，您需要在| N | − 1个输入上对其进行评估，但无论如何。）$f_i$$i$$f_i$$f_j$$i$$j$$f$$|N|$$f_i$$|N|-1$

您可以使程序任意长。因此，对于任何程序，您都可以决定其语言是否与该程序的语言相同。根据赖斯定理，您无法做到这一点。