图的构造，其中每对顶点都有一个唯一的公共邻居

令是n个顶点（n > 3 ）上没有顶点n - 1的简单图形。假设对于G的任意两个顶点，在两个顶点附近都有一个唯一的顶点。这是范林特和威尔逊的《组合课程》的一项练习，目的是证明这种图是规则的。$G$$n$$(n > 3)$$n − 1$$G$

我的问题是，是否存在满足给定约束的图。在解决问题的过程中讨论原始练习时，有人问我们是否可以举一个图形示例，其中每对顶点都有一个唯一的公共邻居，而没有全局顶点。我们既无法提出具体的示例或构造步骤，也无法建立证明没有图形具有这些特性的证据。

有什么建议么？

注意：关于证明这样的图是规则的，事实证明它很简单，粗略的想法是使用唯一公共邻居准则将每对顶点的邻居配对，以建立每对顶点的邻居对的事实。顶点具有相同的度数，然后在无全局顶点约束的帮助下，传递性参数使我们认为该图是规则的。

如果摆脱“无度数顶点”条件，则具有每两个顶点恰好有一个共同邻居的属性的图就是友谊图（一组在共同顶点处粘合在一起的三角形）；如链接文章所述，这是Erdős，Rényi和Sós的一个定理。但是显然所有这些图的顶点都是n − 1 阶；唯一的规则三角形是三角形。因此，对您的问题的答案是，不，不存在具有共同邻域属性且没有度数n − 1顶点的图。$n-1$$n-1$$n-1$