切尔诺夫界的扩展

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我正在寻找对Chernoff的以下扩展的参考（不是证明，我可以做）。

设是布尔型随机变量，不一定是独立的。相反，对于每个和仅依赖于每个事件，可以保证。 $X_1,..,X_n$ $Pr(X_i=1|C)<p$ $i$ $C$ $\{X_j|j\neq i\}$

当然，我想的上部结合的上。 $\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

提前致谢！

reference-request pr.probability chernoff-bound

— 好奇
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你想要的是广义的Chernoff边界，只假设对于变量索引的任何子集S。后者来自您的假设，因为对于， $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$ http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf

P （ \underset{一世 \in 小号}{⋀} X_{一世} ） = P （ X_{{一世}_{1个}} = 1个 ） P （ X_{{一世}_{2}} = 1个 | X_{{一世}_{1个}} = 1个 ） \dots P （ X_{{一世}_{| 小号 |}} = 1个 | X_{{一世}_{1个}} ， 。 。 。 ， X_{{一世}_{| 小号 | - 1个}} = 1个 ） \leq p^{| 小号 |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$ Impagliazzo和Kabanets最近提供了切尔诺夫界线的另一种证明，包括广义的界线。在他们的论文中，您可以找到先前工作的所有适当参考：

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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感谢您的澄清！实际上，我所拥有的和负相关性都暗含了它们的状况。因此，它确实在质量上更强大（当我听到Valentine的演讲时，我以某种方式错过了这一点）。现在我所需要的证明太短了，我很乐意将问题标记为已回答，非常感谢！

— 好奇

3

在您的情况下，您可以简单地根据变量创建子市场，并使用经典Azuma不等式达到相同的效果。为此，您只需要

由您的假设隐含。

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— MCH

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我在文献中知道的最接近的事物是Chernoff界向负相关随机变量的扩展，例如，参见this或this。形式上，没有负相关就可以满足您的条件，但是想法很相似。

因为您的概括并不难证明，所以可能没有人会费心编写它。

— 列夫·雷津
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没错，那也是我发现的最接近的值（在“用于算法分析的浓度”中）。问题是我的手稿太长了，如果可能的话，我希望避免再次剥离。如果没有的话，我别无选择……

— 好奇，

3

这是附录的内容：)

— 列夫·雷津

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嘿，伙计们，以前已经证明过了，我在回答中提供了参考（您还可以在其中找到所有其他相关参考）。

— Dana Moshkovitz

糟糕-太棒了。我以某种方式没有注意到您的答案！

— 列夫·雷津

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另一种参考可以是B.Doerr中的引理1.19，《分析随机搜索启发式方法：概率论中的工具》，《随机搜索启发式理论》（A.Auger和B.Doerr，编辑），世界科学出版社，2011年，第1-页。 20

$X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$ ，分别。证明是基本的，结果是自然的，所以我猜没有人觉得有必要写下来。

— 本杰明·杜尔
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