无限域上张量秩的复杂度

甲张量是向量和矩阵更高的尺寸和的一般化秩张量的还概括的矩阵的秩。即，张量的秩是求和于一阶张量的最小数目。向量和矩阵分别是1度和2度的张量。 $T$ $T$

中的元素来自现场。如果是有限的，那么Håstad 证明了确定3度张量的秩是否至多是NP完全的，但是当是像有理一样的无限字段时，他没有给出（或引用）上限。 $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

问题：确定3次张量对于的秩最多是否为的复杂度，最著名的上限是什么？ $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— 泰森·威廉姆斯
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ℚ上的三次张量的等级与ℝ上的相同张量的等级是否相同？如果是这样，则可以将该问题表述为“实在的存在理论”的特例，因此存在于PSPACE中。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

我之前的评论中的想法行不通，因为over上的三张量的等级有时与from上的相同张量的等级不同。设{x，y}为二维向量空间的基础，并考虑张量2x⊗x⊗x+x⊗y⊗y+y⊗x⊗y+y⊗y⊗x。不难看出其在over上的等级为2，但在ℚ上的等级大于2。（此示例是通过修改示例显示的，该示例显示over上的排名可能与Kruskal 1989中的 over上的排名不同。）

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito

我完全同意@@ Tsuyoshi Ito。我也找不到任何上限。

— 泰森·威廉姆斯，

我认为最好在复杂性之前先问一下可计算性。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

琐碎上界是，它是CEHåstad也以相同的纸，这个问题是证明

超过

。下面的更普遍的问题是CE-完成：给定一个部分填充张量，是有它的建成有秩

？

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— 卡夫

Answers:

有关此的最新预印本：http : //galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf。它表明与张量相关的大多数与等级相关的问题都是和之上的NP问题。（它还提到，确定之上的排名很难NP。） $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— 巴特
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巴特，那本预印本（希拉勒和林姆写的）真是太棒了……非常感谢。

— 约翰·西德尔斯

真好但是，我听不懂这句话：“虽然哈斯塔德的结果适用于

和

，但这些字段的选择对所有上述问题都没有意义，但上述问题之一（方程式的双线性系统除外）因为它们是仅在具有绝对值的特征0的完整字段上定义明确的分析问题。在这些字段中，

和

是迄今为止在应用程序中最常见的，因此我们将讨论仅限于这些字段。

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— 泰森·威廉姆斯，

上面引用中提到的问题之一是等级。这些作者是否说张量的秩在

没有明确定义？

Q

$\mathbb{Q}$

— 泰森·威廉姆斯，

@Tyson：我想作者只是想说，对于许多数值应用（偏微分方程，信号处理），您想用

或

进行计算。作为我自己的数字分析师，我看不到

定义许多应用程序。他们并不暗示对

排名没有明确定义。

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— 巴特

尽管这确实是唯一的答案（因为约翰的意思是要发表评论），但我仍然相信这个答案是值得的，因为它提供了一个参考，表明在其他重要的无限领域（实数和复数）上都具有一定的难度。就像我的问题的标题所暗示的那样，我总体上对无限领域感到好奇，但是为了提出一个带有特定答案的问题，我决定询问理性。如果有人可以提供一个上限（或表明它没有争议），我仍然会选择另一个问题作为可接受的答案。

— 泰森·威廉姆斯

于今年夏天（2014年7月）出版的《计算复杂性的观点：萨摩纳斯·比斯瓦斯周年纪念》一书在很大程度上同意了我们在这里达成的共识。在页面199上，它说：

据我所知，甚至还不确定 [计算张量秩的问题] 是否可确定。在之上，情况要好一些。。。这个问题是可以判定的，甚至在PSPACE中也是可以解决的，因为可以将其简化为实在论的存在论。 $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— 泰森·威廉姆斯
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最近的预印本也证实了这一点：arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf。（请参阅第3页上的表格。）

— Huck Bennett

注意：以下文字仅作评论之用……这绝对不是答案，而是一种务实的观察，其产生是用辛几何和量子信息理论（查尔斯·斯里希特）的查尔斯·斯里希特（Charlie Slichter）的《磁共振原理》的重述。自然地到多项式秩张量积状态空间上）。目前，我们对这些张量秩方法有部分的几何理解，对边缘的量子信息学的理解，基本上没有复杂性的理论或组合的理解，以及有效的（但主要是经验性的）计算理解。

我们对拓宽，加深和统一这种理解非常感兴趣，因此我们希望其他人可以对此主题发表更多的答案/评论。

我们的实际计算经验是，估计

秩通常可以通过最速下降方法处理……据我们所知，这种鲁棒性是出于几何原因而出现的，即Goldberg和Kobayashi的全纯二等分曲率定理。毋庸置疑，这远非严格的证明。

C

$\mathbb{C}$

— 约翰·西德尔斯
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这个定理容易陈述吗？如果没有，您可以提供一个链接到一个好的声明和解释吗？

— 泰森·威廉姆斯

@泰森：我认为约翰在谈论的是他解决问题实例的经验，而不是定理。

— Joe Fitzsimons

您问他一个定理，而他似乎并没有在谈论一个定理。我只是以为你误会了他。

— Joe Fitzsimons

实际上，我以为我发表了评论，很惊讶地看到它作为答案。h！我刚刚对其进行了编辑以添加参考，但是离令人满意的答案还差很远。泰森·威廉姆斯（Tyson Williams）提出了一个很好的问题！:)

— John Sidles 2011年

@Joe他提到了Goldberg和Kobayashi的全同二等分曲率定理，所以我问了一下。我不确定这是否意味着我误解了他。

— 泰森·威廉姆斯，