网格无单色矩形的着色

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更新：所有无单色矩形4色的障碍物集（即可着色和不可着色网格大小之间的NxM“屏障”）现在是已知的。

任何人都愿意尝试5种颜色吗？;）

考虑 ×网格图的着色。只要将四个具有相同颜色的单元格排列为某个矩形的角，就会存在A。例如，如果和具有相同的颜色，则它们将形成单色矩形。同样，和如果用相同的颜色着色，则会形成单色矩形。 $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

问题：是否存在不包含单色矩形的 x网格图的色？如果是这样，请提供明确的颜色。 $4$ $17$ $17$

一些已知事实：

$16$ ×是色的，没有单色矩形，但是已知的着色方案似乎没有扩展到 ×情况。（我省略了已知的 ×着色，因为在决定 ×很可能是鲱鱼。） $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
$18$ 如果没有单色矩形，则 x不能为色。 $19$ $4$
$17$ ×和 ×也是未知情况。这些的答案也将很有趣。 $18$ $18$ $18$

免责声明：Bill Gasarch对这个问题的肯定回答有289美元的赏金；您可以通过他的博客与他联系。关于礼节的注释：我将确保他知道任何正确答案的来源（应该提出）。

他在Barriers II的一次下场会议上再次提出了这个问题，我觉得这很有趣，所以我在这里转发了这个问题（没有他的知识；尽管我非常怀疑他会介意）。

— 丹尼尔·阿蓬
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只是想添加一些参考/指针：除了博客文章[1,2]，位播放器博客[3,4]的更新非常详尽且有见地。所有这些职位都进行了大量讨论。[1]：blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]：blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]：bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] ：bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report 注意：注释中没有降价格式？如何建立漂亮的链接？

— Neeldhara

这些都是很棒的链接。谢谢Neeldhara！：）

— 丹尼尔·阿蓬

同样，感谢您在此处发布此内容-我跟踪了一段时间的开发情况，这应该重新引起对该问题的兴趣！

— Neeldhara'9

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@Moron：是的，您只需要考虑那些边与轴平行的矩形。顺便说一句，对此也有一个复杂性理论的角度：Bill推测给定m×n网格的部分k色，确定是否可以无矩形的方式完成着色是NP完全的。

— Kurt 2010年

2

问题的同构群很大：保留解的对称性，计算行-列交换，颜色的排列，行的排列和列的排列。是否知道有多少个不同的无矩形子集，大小为？

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— mjqxxxx 2011年

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你们中的一些人可能已经意识到了这一点，但是Bernd Steinbach和Christian Posthoff 解决了17 x 17的着色问题。在此处查看Gasarch的博客文章。

— 列夫·雷津
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同样，18x18网格是4色的，没有单色矩形...现在，唯一的“缺失图块”是21x12网格

— Marzio De Biasi

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这并不是对这个问题的真正答案，但是我已经将17x17 4色问题编码为4-CNF（SAT求解器的标准DIMACS格式），并将其上传到此处。如果有人可以使用优质的SAT求解器（和超级计算机！），也许我们可以取得一些进步。

注意：在我的编码中，如果为网格点分配了颜色，则变量的值为和除此以外。 $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— 列夫·雷津
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3

太棒了（我确实可以访问超级计算机。）下一步的运行次数，以估计该设备在特定计算机上的运行时间。谁知道这是否在合理范围之内，但这是我一直在寻找的另一种方法。现在，该去找有关SAT解算器的最新问题了，这样我就可以阅读... :)

— Daniel Apon 2010年

原来我想到的问题是关于#SAT的，所以我在cstheory.stackexchange.com/questions/1719/…上开始了一个关于SAT解算器的新问题

— Daniel

太好了-让我知道进展如何！

— 列夫·雷津

4

@Lev，只是一个随机更新：即使使用最好的超级计算机和非常快速的SAT求解器，它的17x17运行时仍然是天文数字。好的方面：出现在合理范围内的目标是用超级计算机有针对性地进行攻击，即找到将起作用的确切的部分1色（已经由Rutgers的Beth Kupkin手工完成），然后找到了确切的部分2色。 -可以从中使用的颜色，等等。缺点：没有“快速解决方案”；这将是一个涉及多个阶段的超级计算机执行的长期项目

— Daniel Apon

1

@乔，但是！这是当前最佳近似颜色的“排行榜”：排行榜 -看起来，模拟退火在寻找近似颜色方面效果很好。

— Daniel Apon

4

这也不是一个真正的答案。当然，这里的问题是存在天文数字的对称性，即使是最好的超级计算机上最好的SAT求解器也无法做到。这样的对称将解决方案映射到解决方案，将非解决方案映射到非解决方案：在这种情况下，可能会有大量的几乎解决方案（即，满足除少数子句之外的所有子句的赋值），每一个都可以通过其他方式获得应用适当的对称性。因此，求解器浪费大量时间来尝试这些几乎所有的解决方案，而从某种意义上说，它们都是相同的。

利用对称性（见这纸）应该是为了攻击这个硬17×17的实例，并在其上取得了一些进展，探索的途径。我想知道是否有人已经尝试这样做。

— 乔治·卡梅尼（Giorgio Camerani）
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嘿，真是太好了！:)以前没看过。

— Daniel Apon

@Daniel：不客气！;-）希望能帮助到你。

— Giorgio Camerani 2011年

我在17x17问题的多种编码上使用了Aloul的“ Shatter”程序，并将CPU周时间投入了几个不同的SAT解算器中，但是没有运气。沃尔特所引用的论文实际上是他针对该主题写的十几篇论文中的第一篇，因此其中可能有可以完成的工作，但这并不是一件容易的事。

— 杰伊·科米尼克

3

同样，这不是一个真正的答案，但是无论如何，这是一些针对此问题采用图形着色算法的想法。

让我们说，如果网格不包含某个矩形的所有四个角，则网格的网格是一个独立的网格。以明显的方式定义最大独立集。现在，以下是等效声明： $I$ $I$

$n$ ×网格可以用种颜色着色。 $m$ $k$
$n$ ×网格可以覆盖独立的集合。 $m$ $k$
$n$ ×网格可以覆盖最大独立集。 $m$ $k$

现在，有趣的是，可以使用快速覆盖积算法在时间内完成独立集合的覆盖（Björklund等，2007）。尽管似乎仍然不可克服，但这无疑是对普通算法的改进。 $\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

如果所有（最大）独立集合的族具有足够好的结构，那么也可能会微调覆盖产品算法。

— 珍妮·科洪宁
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索赔3等同于索赔2？顺便说一句，17x17的最大独立集的大小为74，如Elizabeth Kupin的论文（pdf）所示。只有一个这样的集合，没有将行和列的排列算作不同的。

— 空集

我的意思是最大化，因为没有适当的超集是独立的，这是计算机科学中的惯例。最大值是指“具有最大可能的大小”时通常使用的词。

— Janne H. Korhonen

在那种情况下，最大独立集的集合包含唯一大小74集的所有行/列排列，而没有大小73独立集，因为它们都是大小74集的子集。我不知道它有什么尺寸从67到72

— 空集

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21x12的网格也是4色的，没有单色的矩形！

在Gasarch的博客上查看Bernd Steinbach的最新帖子！

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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这是比尔·鲍里斯。嗨，丹我正在研究一个程序，该程序根据Ramsey的理论搜索合适的17x17矩阵，该矩阵不显示4色。我使用一个位置矩阵来描述点之间的所有连接，并固定主对角线，并允许矩阵的第一行通过所有可能的16choose8组合；我仅捕获符合以下条件的矩阵... no-XRRR，no-RXRR，no-RRXR，no-RRRX，no-XBBB，no-BXBB等，然后使用下一个扫描矩阵最弱的标准... no-XBRR，noBXRR，no-BBXR，no-BBRX，no-XRBB，no-RXBB等，共进行32次扫描，直到计算机自动填充颜色为止。我注意到，在总共12780个矩阵中，每400个矩阵就有一个可能的候选者，要花费0.95个小时才能找到该候选者，或者每8个矩阵就有1个。644秒。它来了，但是我没有太多时间来编写它……因为我全职工作。我们应该一起工作...我可以用$ 289.00！

— 威廉·鲍里斯
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Bill Gasarch只需支付$ 128。

— 威廉·布瑞斯

对此感到抱歉... 272/2或$ 136

— William

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这不是问题的答案。最好作为评论。

— Suresh Venkat