常规语言中等效类的数量与DFA大小的关系

这个问题与Janoma 最近提出 的一个问题有关。

背景

在约束编程中，域D上的常规全局约束$c$是一对（s ，M ），其中s是一个变量元组（范围），而M是域D上的DFA 。如果M接受字符串 θ （s 1）θ （s 2）… θ （s n），则 s的赋值θ满足c。$D$$(s, M)$$s$$M$$D$$\theta$$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

下面，假定域$D$是固定的。定义一组字符串T = D |上的等价关系$\sim$s | 使得一〜b，若对所有DFA 中号任一个，b ∈ 大号（中号）或一个，b ∉ 大号（中号）。直观地讲，两个字符串是等效的，前提是DFA无法区分它们。如果是这样，那么它们也满足相同的 常规约束。$T = D^{|s|}$$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

如果我们不以任何方式限制了有限自动机，则集等价类的$T/{\sim}$只是$T$本身。我对等效类wrt的数量感兴趣。$\sim$作为 DFA允许的状态数$n$的函数。显然，如果$n = |D|^{|s|}$（忽略常量），然后$|T/{\sim}| = |T|$。（当然，这里的$n$本身将是$|s|$的函数。）

问题

1. 什么是最小的$n$为此$|T/{\sim}| = |T|$？
2. 在这之下会发生什么？尤其是，
   • 是否有$n$这样$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$？
   • 是否有$n$这样$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$？

$|s|^{|D|}$

$k$$\geq k$

对问题1的回答

什么是最小的ñ为此| T / 〜| = | T | $n$$|T/{\sim}|=|T|$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$。

这是在

Robson，JM，用小的自动机分离弦，Inf。处理。来吧 30，No. 4，209-214（1989）。ZBL0666.68051。