具有成对可见性的美术馆变体？

传统的画廊问题设置了一个区域和一些具有可见性的护卫，并要求查看整个区域所需的护卫最少。

有没有人看过画廊的变型，其中可见性区域由一对警卫定义。例如，一种说法可能是，如果有一对守卫的最小边界圆覆盖该点，则该点被覆盖？

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Quis custodiet ipsos custodes？

— Artem Kaznatcheev

好吧，要回答@Artem的问题，有一个连接后卫的概念，它有两个变体。让可见性图定义有每个保护点的顶点，以及两个保护点之间可以看到的两个顶点之间的边。如果连接了可见性图，则所有防护装置都处于防护状态（有时称为“一组防护装置”）。一个更强的条件是可见性图具有单个连接的组件。然后，您便拥有一组已连接的警卫。是的，这里有大量工作。我什至写过一篇论文。

— 亚伦·斯特林

糟糕，上面的内容应为“如果能见度图没有孤立的顶点，则所有警卫员都处于警戒状态……”

— Aaron Sterling

“谁守护守卫”？我的拉丁语是唯一的猪:)

— Suresh Venkat

请注意，在我的表述中，我不需要连接诱导可见性图。尽管这对于平行轴矩形可能不是问题，但实际上对于不太好的区域（例如椭圆区域）可能是一个问题。但是，连接后卫的指针是一个很好的指针：我认为我的问题的某些变体可以通过这种方式解决。

— Suresh Venkat

Answers:

我不知道有任何这样的工作。但是，我希望这样的问题将是NP完全的，并且对于带有孔的多边形，将很难像设置盖一样近似。相对简单的顶点/顶点保护问题就是这个难题（Eidenbenz，Stamm和Widmayer（2001）），在该问题中，保护只能位于顶点上，而只需要保护顶点。

对于简单的多边形，我希望这样的问题是：

NP完全
APX硬
大约在，其中opt是最佳警卫人数。 $O(\log(\rm{opt}))$

对于简单多边形而言，顶点/顶点保护问题是APX难题（Eidenbenz（1998））。

对于简单多边形的画廊问题的最佳算法是基于构建小的 net。在简单多边形中，由可见性多边形引起的范围空间具有恒定的VC维。圈子也一样。因此，由简单多边形，圆形及其交点和并集中的可见性多边形引起的范围空间也将具有恒定的VC维，并且可以获得逼近算法。 $\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

我在论文中对这个问题进行了一些思考，但是认为没有一个特别有趣的变体似乎并没有很明显地减少到涉及单一保护的已知问题上。

— 詹姆斯·金
source

这个问题来得太晚了（抱歉！）。至少有一点工作。

（1）这似乎是本科生（Swarthmore）的研究论文：“艺术画廊中的最佳双重覆盖”，Scott Dalane，Andrew Frampton，2008， PDF链接。从他们的结论：

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— 约瑟夫·奥罗克
source

所以我一直在考虑这个。我认为双重覆盖与我的问题之间的主要区别在于存在“连接性”问题。换句话说，两个警卫的可见性区域都不会被激活，除非它们彼此“可见”。构造示例很容易，您可以用彼此看不见的警卫双重覆盖一个区域。现在，还已经研究了连接后卫的问题，但是在不同的情况下，这里也不再适用-特别是在这里，您需要连接后卫可见性图，而我则不需要。

— Suresh Venkat

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不完全的。这不是纯粹的可见性。一对防护装置定义了“可见区域”，如果某个点位于防护装置的可见区域内，则将其覆盖。实际上，守卫彼此看不见或传统的“视线”意义上的要点有可能“掩盖”要点。

— Suresh Venkat

感谢您的澄清。这个模型似乎与我所知道的完全不同。

— 约瑟夫·奥洛克