P之外不是P难的问题

在阅读彼得·索尔的答案和亚当·克鲁姆的较早问题时，我意识到我对成为$\mathsf{P}$硬意味着什么有一些误解。

如果通过L减少（或者如果您更喜欢N C）可以减少P中的任何问题，则问题为$\mathsf{P}$难。如果没有多项式时间算法可以解决问题，那么问题就出在P之外。这意味着应该存在在P之外但不是P硬的问题。如果我们假设FACTORING在P之外，那么Peter Shor的答案表明FACTORING可能是一个问题。$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

是否存在已知的问题（自然问题或人为问题），这些问题已知存在于之外$\mathsf{P}$但不是$\mathsf{P}$难？在比分解假设弱的假设下该怎么办？这个复杂性类别有名称吗？

如果$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$那么没有稀疏集合（甚至是不可计算的集合）也可以是$\mathsf{P\text{-}hard}$。

误解源于将复杂性类（和计算问题）视为创建不正确的线性顺序的思考。对问题使用“硬度”一词可以解决课堂上的其他问题，这也会导致误解。问题的下限（即不在复杂性类中）并不意味着该问题对于该类而言是困难的（即可以用于解决该类中的其他问题）。我不知道当前是否使用更好的“硬度”替代术语，在过去的几十年中一直使用“通用性”（恕我直言，恕我直言，更忠实地表达了这一概念，然后我们可以使用因为没有上课，但是很难改变现有的术语）。

我认为您可以通过Ladner风格的参数构造一个不在中而不是 -hard 的集合。这是一个具体的例子。$P$$P$

Schöning在他的论文“获得复杂类中对角线集合的统一方法”（Theor。Comp。Sci。18，1982）中证明了以下几点：

定理假设，，和是递归可表示的复杂度类，并且在有限的变化下是封闭的。然后有一个集合，使得，，并且如果和不是平凡的（空集或所有字符串），则是可以乘以多倍多数。阿2 ∉ c ^ 2 c ^ 1 c ^ 2甲甲∉ Ç 1甲∉ c ^ 2 阿1 ∈ P 阿2甲阿$A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$$A \notin C_2$$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

要应用此方法，在经过多次折减的情况下，将设置为空集，将设置为 complete，将设置为的硬集，将设置。空集不能为 -hard（一种语言的 hardness 定义要求该语言中至少有一个实例，而没有一个实例）。绝对不在。该和可以进行验证，以满足上述条件（类似于Schoening如何它的阿2 ë X P c ^ 1 P Ë X P c ^ 2 = P P P 阿2 c ^ 2 c ^ 1 c ^ 2 Ñ P 甲P é X P 甲P 甲1 ∈ P 阿2甲ë X P Ë X P 甲$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$$C_2$$NP$-成套 另请参阅此相关问题）。因此，我们得到的不是的难题，而不是。但是因为和是不平凡的，所以可以还原为集，因此它在。因此，尤其是，也不是硬的。$A$$P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$$P$

在上面的说法，限制的难的问题，是必要的，以确保递归适于赠送，因为P-困难问题作为一个整体不是递归像样，甚至没有可数。现在，这种“自然”的例子是一个不同的故事。Ë X $P$$EXP$

产生在P之外但不是P难的问题的另一种方法是对与P不可比的类完全解决问题。说一类X与P不可比，这意味着两者都不是另一个的子集。那么一个X完全问题必然在P之外（否则P将包括X），而不是P困难的（否则X将包括P）。

我试图考虑一些与P不可比的类，但是P是一个非常健壮的类，因此没有太多这样的类。例如，RNC和QNC可能与P无可比拟。DSPACE（）也可能与P无可比拟。PolyL与P无可比拟，但在减少日志空间的情况下并没有完全问题。$\log^2$