的后果

我们知道，如果则整个PH崩溃。如果多项式层次结构部分崩溃怎么办？（或者如何理解PH可能会在某个点以上崩溃而不是在下面崩溃？）$P=NP$

简而言之，和P ≠ N P的后果是什么？$NP=coNP$$P\ne NP$

对我而言，最基本，最令人惊讶的结果之一就是存在大量问题的简短证明，而这些问题很难理解为什么要有简短证明。（这是从“这种崩溃还会带来哪些其他复杂性影响？”退回到“这种崩溃令人惊讶的最基本的，现实的原因是什么？”）$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

例如，如果，那么对于每个非哈密顿图，都有一个简短的证明。对于非三色图形也是如此。对于非同构的图对也是如此。对于任何命题重言式也是如此。$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

在的世界中，证明命题重言式的困难不是某些短重言式具有长证明-因为在这样的世界中，每个重言式都具有多项式短证明-而是存在一些我们无法有效找到这些证明的其他原因。$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

如果我们还假设，则该假设还会导致随机分类崩溃：$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$。尽管所有这些都被推测无条件地崩溃为 P，但是是否真的发生仍然是未知的。无论如何， N P = c o N P本身并不暗示这些随机类别崩溃了。$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

如果没有，则我们至少具有 ，那么，仅连同 N P = c o N P假设，这将产生另一个重要结果：$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$。这遵循鲍鲍伊，Fortnow，尼森和Wigderson的结果，这表示，如果在所有的一元（讯号）语言 P ħ落在 P，然后乙P P = P。因此，如果乙P P ≠ P，那么它们不能都落在 P，作为 Ñ P = C ^ ö Ñ P假设意味着 P ħ = Ñ P。因此，必须使用 N P − P的提示语言$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$。最后，在一个符合语言的存在 是公知的暗示È ≠ Ñ Ë。$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

上述推理示出了有趣的效果是，假设，尽管是一个崩溃，实际上放大分离的功率乙P P ≠ P，因为后者单独尚不为暗示È ≠ Ñ Ë。这种“反常现象”似乎支持这个猜想乙P P = P。$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko证明了有一个使PH在第k级崩溃的预言。参见“ Ker-I Ko：具有完全K等级的相对多项式时间层次。SIAMJ. Comput。18（2）：392-408（1989）”。