使用集合联合的共识聚类

我已经在MathOverflow上发布了这个问题，但是据我所知，它仍然是开放的，因此我将其重新发布在这里，希望是有人听说过它。

问题陈述

让，和是三个分区成非空部分（表示为的，的和该组的）{ }。找出使最小的两个置换和 $P$ $Q$ $R$ $p$ $P_h$ $Q_i$ $R_j$ $1,2,\ldots,n$ $\pi$ $\sigma$

\sum_{i = 1}^{p} | P_{i} \cup Q_{π_{i}} \cup R_{σ_{i}} | .

$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$

问题

1）这个问题（或相应的决策问题）的复杂性是什么？

2）如果问题确实是在多项式时间内可解，它为任意数量的保持真实分区的？ $k\geq 4$

之前的工作

Berman，DasGupta，Kao和Wang（http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008）研究了分区的类似问题，但在上述总和中使用成对代替了。他们证明，即使每部分只有两个元素，对于，问题也是MAX-SNP-hard的，方法是将三次图中的MAX-CUT简化为问题的特殊情况，并给出 -任意近似值。到目前为止，我还无法在文献中找到我的问题，也无法适应他们的证明。 $k$ $\Delta$ $\cup$ $k=3$ $(2-2/k)$ $k$

简易子案例

我发现在多项式时间内可以解决的一些子情况：

情况 ; $k=2$
对于任何，情况 ; $p=2$ $k$

此外，当，没有任何两个器件相等并且所有的部件具有大小，我们具有下界（我不知道它是否紧）。 $k=3$ $2$ $3p+1$

co.combinatorics np-hardness

— 安东尼·拉巴尔（Anthony Labarre）
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问题是NP难。通过减少以下问题来证明：

给定一个三方图表与顶点每个部分，在那里在顶点不相交三角形？ $G$ $N$ $N$ $G$

这就是简化：给定上述问题的一个实例，让，，表示每个部分的顶点集，而是和之间的边集。另外，数每部分的顶点通过。 $G$ $A_1$ $A_2$ $A_3$ $G$ $E_{ij}$ $A_i$ $A_j$ $1,\dotsc,N$

我们使用构造您的问题的实例，其中，是大量（比如说，），和。第一元素对应于的边缘。分区定义如下： $n = |E(G)| + M$ $M$ $M = 10 |E(G)|$ $p = N + 1$ $|E(G)|$ $\{1,\dotsc,n\}$ $G$ $P$ 为是一组具有边缘的的个顶点作为它们的端点中的一个。显然，这些集是不相交的和他们的工会。是一切，即 $P_i$ $i=1,\dotsc,N$ $i$ $A_1$ $E_{1,2} \cup E_{1,3}$ $P_{N+1}$ 。类似地，我们定义使用代替，和使用代替。 $E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$ $Q$ $A_2$ $A_1$ $R$ $A_3$ $A_1$

现在，我们声称此实例的成本解决方案最多为当且仅当具有不相交的三角形。看到这一点，第一通知，由于是大的，具有成本低的任何解决方案比必须映射到和。这已经占 $3|E(G)| - 3N + M$ $G$ $N$ $M$ $2 M$ $P_{N+1}$ $Q_{N+1}$ $R_{N+1}$ 总成本的，所以我们剩下。现在，请注意，每个和每个的交集最多为1（并且类似地对于和以及对于和）。因此，如果所有这些交点可以同时为1，则目标函数最小。这对应于不相交的三角形。 $|E(G)| + M$ $2 |E(G)| - 3 N$ $P_i$ $Q_j$ $P_i$ $R_k$ $Q_j$ $R_k$ $N$ $G$

— 穆罕默德
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