Lambda演算中

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我觉得我不理解，但 $\eta$ γ变换容貌把我当 $\beta$ γ变换，什么也不做，特例 $\beta$ γ变换，结果就是刚刚在lambda抽象的术语，因为没有什么做的，一种无意义的 $\beta$ 。

因此，也许 $\eta$ conversion确实很深奥，与此不同，但是，如果是，我不理解，希望您能为我提供帮助。

（谢谢您，对不起，我知道这是lambda微积分中非常基本的一部分）

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
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更新[2011-09-20]：我扩展了有关 $\eta$ 扩展和可扩展性的段落。感谢Anton Salikhmetov提出了很好的参考。

$\eta$ γ变换 $(\lambda x . f x) = f$ 是的一种特殊情况 $\beta$ -转换仅在当特例 $f$ 是本身的抽象，例如，如果 $f = \lambda y . y y$ 然后

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$ 但是，如果

f

$f$ 是变量，或者应用程序不简化为抽象怎么办？

从某种意义上讲， $\eta$ rule就像一种特殊的可扩展性，但是我们对于它的表达方式必须谨慎一些。我们可以说扩展性为：

对于所有 $\lambda$ 组术语 $M$ 和 $N$ ，如果 $M x = N x$ 然后 $M = N$ ，或
对于所有如果然后。 $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

第一个是关于微积分项的元陈述。在其中表现为形式变量，即它是微积分的一部分。它可以从被证明 -rules，参见例如定理2.1.29在“演算：其语法和语义”由Barendregt（1985）。可以理解为关于所有可定义函数的陈述，即那些是表示。 $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

第二个陈述是数学家通常如何理解数学陈述。演算理论描述了某种结构，我们称它们为“ 模型 ”。一 -model可能是不可数的，所以不能保证它的每一个元素对应于 -term（就像有更真实的数字比有描述雷亚尔表达式）。然后可扩展性说：如果我们在一个取和中的任何两个，如果对于模型中的所有，则 $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ 。现在，即使模型满足，在这种意义上也不必满足可扩展性。（这里需要参考，我认为我们必须小心如何解释平等。） $\eta$

有几种方法可以激发 $\beta$ 和。我将随机选择类别理论，伪装成微积分，其他人可以解释其他原因。 $\eta$ $\lambda$

让我们考虑类型化的演算（因为它不那么混乱，但是对于未类型化的演算却大致相同的推理）。其中一个应该持有的基本规律是指数法（我可互换地使用符号和，选择看起来更好的那个。）同构和 $\lambda$ $\lambda$

C^{一种 \times 乙} ≅ （ C^{乙} ）^{一种} 。

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

看起来像是用

微积分写的吗？据推测，他们将

和

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

短计算与一对夫妇的

-reductions（包括

-reductions

和

的产品）告诉我们，对于每

我们有

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1个} p ） （ π_{2} p ） 。

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

由于

和

是彼此的逆，我们预计

，但实际上这证明我们需要使用

-还原两次：

一世 （ Ĵ G ） = λ 一种 ： 一种 。 λ b ： 乙 。 G 一种 b 。

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

因此，这是进行

还原的原因之一。练习：需要哪个

来证明

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

？

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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“此外，我听说它说η规则与函数的可扩展性有关。这是错误的。”如果用可扩展性规则（请参见我的答案）来扩充

等式公理和推理规则，则这组推理规则将准确地捕获

-equality，不是吗？（即，两个术语在此理论等于当且仅当它们是

-EQUal）

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

— 马尔钦Kotowski

@Marcin：是的，可扩展性意味着

，反之则不然。您将如何从

和

规则得出可扩展性？

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

— Andrej Bauer

1

let

表示包含

且满足可扩展性的最小同余项（如果

，则

）。然后

IFF

（参见例如关于咖喱霍华德同构Urzyczyn，索伦森“讲座的第一章），并在这个意义上

-rule捕获外延性的概念。

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

— 马尔钦Kotowski

我知道，您正在将可扩展性视为一种模式，即，我们证明它对每对特定的

和

。我以扩展性为声明。我认为。现在我必须考虑一下。

M

$M$

N

$N$

— 安德烈·鲍尔

1

@AndrejBauer我同意η-rule并不是完全可扩展性，但是您是否不认为它仍然是可扩展性的有限形式，即它代表了一类明显的可扩展性情况。最初的问题是寻找动机和概念，在这种情况下，我认为从可扩展性角度考虑是有用的（一定要小心不要走得太远）。

— 马克·哈曼

9

为了回答这个问题，我们可以从相应的专着《 Lambda Calculus》中提供以下引用。它的语法和语义”（Barendregt，1981年）：

的引入的点 -还原是提供一种用于可证明的语句一个公理在拉伸演算[在理论，但在表示该规则 ]，使得其将具有Church-Rosser属性。 $\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

主张。 $M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[其证明基于以下定理。]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

HP完整的[Hilbert-Post之后]理论对应于一阶逻辑模型理论中的最大一致性理论。

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$ 降低。
$\iota$ 是
等价关系，则：
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

这是伯姆定理的结果。

— 科迪
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6

$\eta$ -reduction表示可扩展性的概念-如果两个函数在相同的输入上提供相同的输出，则认为这两个函数相等。

形式化此概念的一种方法如下：如果我们考虑该关系 $=_{\beta \eta}$ ，关系的及物－反身闭合 $\rightarrow_{\beta\eta}$ ，很自然地根据等式理论的推理规则（例如：形式规则：if $M=N$ ，然后 $\lambda x.M = \lambda x.N$ 等等-表征 $=_{\beta}$ 需要大约7条此类规则）。

现在，更换 $=_{\beta}$ 与 $=_{\beta\eta}$ 等于引入公理 $\lambda x. Mx = M$ ，相当于扩展性规则：if $Mx=Nx$ ，然后 $M=N$ 。这就是在所有输入参数上相等的两个函数应视为相同的概念。

— 马辛·科托夫斯基（Marcin Kotowski）
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扩展性源自

η

$\eta$ -规则。

— Andrej Bauer

参见Barendregt专着中的定理2.1.29（Lambda Calculus及其语义学，1985）。

2

@安东：我想我不太满意

ξ

$\xi$ -规则。

— Andrej Bauer

反过来，我对幸福和类似“听说”的答案比直接引用相关引号引起更多关注，也不太高兴。

@安东：这是一次人气竞赛，你不知道吗？;-)无论如何，

ξ

$\xi$ -在Barendregt中使用的规则。我不记得有人拖着

ξ

$\xi$ -进行讨论。我们只有

α

$\alpha$ 和

β

$\beta$ 。

— Andrej Bauer