在不确定的时间层次中是否存在自然的分隔？

最初的非确定性时间层次定理是由Cook提出的（链接是S. Cook，《非确定性时间复杂性的层次结构》，JCSS 7 343–353，1973）。定理指出，对于任何实数 $r_1$ 和，如果则NTIME（）严格包含在NTIME（）中。 $r_2$ $1 \le r_1 \lt r_2$ $n^{r_1}$ $n^{r_2}$

证明的一个关键部分使用（未指定）对角线化来构造一种与较小类的元素分离的语言。这不仅是一种非建设性的论据，而且通过对角化获得的语言通常除了分离本身之外没有其他见解。

如果我们想了解NTIME层次结构的结构，则可能需要回答以下问题：

是否有在n时间自然语言（ $n^{k+1}$ ），而不是在n时间（ $n^k$ ）？

一个候选者可能是k-ISOLATED SAT，它需要找到CNF公式的解，而汉明距离k内没有其他解。但是，像往常一样，证明下界似乎很棘手。显然，检查汉明k球显然没有潜在的解决方案，“应该”需要检查 $\Omega(n^k)$ 不同的分配，但这绝不容易证明。 （注意：Ryan Williams指出， $k$ 下限-ISOLATED SAT实际上将证明P≠NP，因此，这个问题似乎不是正确的选择。）

请注意，该定理无条件地成立，而不管诸如P与NP之类未经证明的分离。因此，对该问题的肯定回答将无法解决P vs. NP，除非它具有上面的 $k$ -ISOLATED SAT之类的其他属性。 NTIME的自然分离可能有助于阐明NP的“困难”行为的一部分，该部分是由于硬度的无限上升顺序而引起困难的。

由于下界是很难的，因此我会接受自然语言作为答案，即使没有证据，我们也有充分的理由相信下界。例如，如果这个问题已经约DTIME，那么我会接受 $f(k)$ -CLIQUE，对于一个非递减函数 $f(x) \in \Theta(x)$ ，作为自然语言，可能提供所需的分离，基于Razborov和Rossman的电路下界以及CLIQUE 的 $n^{1-\epsilon}$ 逼近度。

（编辑以解决卡夫的评论和瑞安的回答。）

cc.complexity-theory nondeterminism time-hierarchy

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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这是一个整洁的问题，安德拉什

— Suresh Venkat

Stephen Cook建议使用线性规划作为

的可能分隔符

k = 2

$k=2$ 。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

您能否解释一下“非建设性论点”是什么意思？使用对角化的证明不必是非建设性的。

— 卡韦

据我所知，我们不了解这样的语言，或者如果知道的话，关于它们的“自然性”存在很大争议。我知道这并不是一个令人满意的答案，但是我可以说：

（a）如果您证明的下界对于k-SAT查出对于每次，则实际上已经证明。 $\Omega(n^k)$ $k$ $P \neq NP$

（b）您可能希望证明k隔离的SAT是自然问题之一。是要表明，K-隔震对于，SAT问题很难解决（通常在正规意义上具有有效的折减）。实际上，这是我们知道如何证明这种结果的唯一方法。但是从这个意义上说，k隔离的SAT可能并不难，有一些非常不可能的后果。 $NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$ $NTIME[n^k]$

其主要原因是，K-ISOLATED SAT实例中是可解的，独立的。您可以从本质上猜测孤立的分配，然后普遍验证（对于所有 $\Sigma_2 TIME[n]$ $k$ 在分配中翻转至位的方式）其他“本地”分配均不起作用。 $O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$ $k$

这是（a）部分的证明。令ISOLATED SAT为问题的形式，其中作为输入的一部分给出（用一元表示）。假设我们证明ISOLATED SAT 对所有都需要时间。如果，则在，则任何足够。但事实证明，有一种语言这是 $k$ $\Omega(n^k)$ $k$ $P=NP$ $\Sigma_2 TIME[n]$ 对于一些固定（证明使用Cook的定理的有效版本：如果存在一个SAT算法在时间上运行 $TIME[n^c]$ $c$ $n^d$ $c > d^2$ $\Sigma_2 TIME[n]$ 不是在每一个。这是一个矛盾，所以。 $TIME[n^k]$ $k$ $P \neq NP$

这是（b）部分的证明。如果每个可以被有效地降低到一个k ISOLATED SAT式（例如，所有的位实例得到降低到的-ISOLATED SAT公式至多大小），然后 $L \in NTIME[n^k]$ $n$ $L$ $k$ $f(k) n^{c}$ 。这将意味着立即，但另外它只是看起来不太可能，所有的可以多项式层次结构中如此有效地模拟。 $NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$ $coNP \neq NP$ $NP$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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感谢您整洁的论点，表明k-ISOLATED SAT不能胜任这项工作。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年