通过多次传递来减少st-connectivity的空间使用？

假设将具有个顶点的图表示为m个边的流，但是允许对该流进行多次遍历。Ñ $G$$n$$m$

Monika Rauch Henzinger，Prabhakar Raghavan和Sridar Rajagopalan观察到$\Omega(n/k)$空间对于确定G中两个给定顶点之间是否存在路径是必要的$G$，如果允许对数据进行$k$次传递。（另请参阅技术报告版本。）但是，它们没有提供实际实现此限制的算法。我假设一种最佳算法实际上将在现实的计算模型中占用$O((n\, \log\, n)/k)$空间，因为如果一个人不能使用恒定大小的指针索引内存，则必须区分$n$不同的顶点。

如何使用O（（n \，\ log \，n）/ k）空间确定$k$传递的图形连通性？$O((n\, \log\, n)/k)$

如果只允许一次通过，则输入数据可以存储为一组顶点的分区，如果在两个不同集合中的顶点之间看到一条边，则合并这些集。显然，这最多需要$O(n\, \log\, n)$空间。我的问题是关于$k > 1$：如何才能使用更多的通道来减少所需的空间？

（为避免琐碎性，$k$是不能被常数先验限制的参数，而空间界限是涉及$n$和k的函数的表达式$k$。）

更新：即使对于$k=2$，也有一种只存储$n/2$个顶点的方法确实很有用。还是实际上对于某个常数c都存在一个更强的下界cn，而与k无关？$cn$$c$$k$

寻找一种用于st-connectivity的算法同时在亚线性空间和多项式时间中运行是一个长期存在的难题，这是您要针对的一项较简单的任务。这样的算法对于无向版本是已知的，但是即使这些算法也需要大量的多项式时间（而不是k-pass算法所隐含的O（km）时间）。尤其请参阅对Tompa论文的参考，以了解为何定向案例很难。

这不是答案，但我只是想指出，如果您可以解决，那么您可以解决空间和时间的st-连通性（在离线情况下，您可以通过随机游走以> 1/2的概率进行处理；但是，当边缘来自流时，似乎要困难一些）。IMO，这是一个非常有趣的问题。O （log n ）O （n m $k = \Theta(n)$$O(\log n)$$O(nm)$

尤西·希洛奇（Yossi Shiloach），乌兹·维斯金（Uzi Vishkin）。O（log n）并行连接算法。J.算法，1982：57〜67-我最喜欢的论文之一。如果可以在轮中用p个处理器在O（（nlogn / k）/ p）空间中进行处理，这将很有趣，其中每个轮次每个处理器只允许读取边缘的O（n / p）。$k$

另一个无法回答的问题是：有一些关于在大型图上运行的mapreduce样式算法的论文。目标是为密集图实现每台机器的空间o（m），但通常每台机器需要O（n）的空间。

theory.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

也不是答案，但是您可以通过次传递来确定非确定性空间中的。只是猜测第节点的的路径，并检查它们连接在第一轮，然后从最后这些的继续的顶点和检查下从路径等。k n / k s t n / k n / k s $O(n\log n/ k)$$k$$n/k$$st$$n/k$$n/k$$st$