集合覆盖的不可近似性：我可以假设m = poly（n）吗？

我试图证明通过减少覆盖范围可以解决某些问题。我的约简转换了地面大小的实例 $n$ 和 $m$ 设置为我的问题的实例，其中某个参数 $r$ 大小 $O(n+m)$ 。然后，我可以证明封面大小为s的set cover实例与我的问题的实例相对应，最优解的大小为 $2s$ （或类似的内容），反之亦然。我想援引拉兹·萨夫拉（Raz-Safra）得出的结论是，我的问题是无法解决的。 $c \log{r}$ ，对于一些常数 $c$ 。如果我可以假设这会很好 $m$ 由一个固定的多项式为界 $n$ 。有谁知道这是犹太洁食吗？对于标准NP硬度证明（用于机套）的实例系列确实是正确的，但是我不确定Raz和Safra所采用的PCP降低类型是否仍然如此。

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— 伊迪丝·艾尔金德（Edith Elkind）
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是的，集合覆盖实例中的集合数m是元素数的多项式。

顺便说一下-Set-Cover的最新硬度结果是：

与Noga Alon和Muli Safra一起，我们展示了如何使用Raz-Safra / Arora-Sudan PCP获得更好的常数 $c$ 硬度系数 $c\log n$ 。

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feige展示了如何获得最佳硬度系数 $(1-\epsilon)\ln n$ ，假设 $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ 。

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
我最近发表了一篇关于如何使Feige的折减适应NP硬度结果（即基于的结果）的注释，假设对PCP的推测是合理的（我称之为“ The Projection Games Conjecture”）投影游戏的1993年“滑尺猜想”）。 $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ （我后来发现减少量在和减少量爆炸之间提供了最佳折衷）。 $\epsilon$

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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仍然会产生硬度的最弱分离假设是什么？

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat

达娜，谢谢你的回答！如果您不介意的话，还有一个后续问题：这是一个“愚蠢”的问题，即，是否存在任何暗示m = poly（n）的高级考虑，还是实际上必须知道Raz-Safra硬度证明可以回答我的问题？

— 伊迪丝·艾尔金德

@Suresh：我假设您的意思是。Feige的假设（）和我的假设（“ The Projection Games Conjecture”）是无法比拟的。我相信我的假设将在可预见的将来得到证明。

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

— 丹娜·莫什科维茨

@lostinjungle：如果m在n中不是多项式，则您不能将这种减少视为“多时间减少”。Raz-Safra / Arora-Sudan PCP产生m = poly（n）的特殊原因是，每个PCP变量/约束+都有一组，并为其分配，变量和约束的数量以及字母的大小是多项式，并且查询数量是恒定的。

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz：谢谢！不过，我不确定我是否理解您的第一个主张。以下（假设的）归约有什么问题：我从一个具有个顶点的（例如）Vertex Cover实例开始，并创建一个集且大小为地面集的Set Cover实例，其中是解到？这肯定在多时间工作。诚然，我从未见过这样的减少，但是从逻辑上看，这似乎并非不可能。还是我错了？当然，我原来的问题已经回答了，请随时忽略此问题。我只是好奇...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— 伊迪丝·埃尔金德