不可构造的功能和异常结果

在Arora-Barak书中，在时间可构造函数的定义中，据说使用时间不可构造的函数会导致“异常结果”。有没有人举过这样一个“异常结果”的例子？我特别听说可能存在一些功能，使得时间层次定理不成立，有人能举这样的例子吗？文学界的某个地方有这件事吗？

Borodin的缺口定理：针对所有可计算的函数$g(n) \geq n$，共有一个可计算的功能 $t$ 这样 $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$。

实际上，这适用于任何Blum复杂性度量来代替 $DTIME$。

另请参见维基百科页面及其参考。

由于Wikipedia文章没有提供证明，并且该文章是关于ACM DL的，所以我认为将证明张贴在此处可能会很有用：

定理3.7。（间隙定理）。

让 $\Phi$ 作为一项复杂性衡量标准 $g$ 一个递减的递归函数，使得 $\forall x, g(x) \geq x$。然后存在递增的递归函数$t$ 这样可以计算复杂度的函数 $t$ 与复杂性度量的可计算函数相同 $g\circ t$。

证明。

限定 $t$ 如下：

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. 对所有人 $n$，有一个 $k$，因为对于所有人 $i \leq n$：

   一个。如果$\Phi_i(n)$ 然后是未定义的 $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$和

   b。如果 $\Phi_i(n)$ 然后定义 $\exists k, \Phi_i(n) < k$。

2. $k$ 可以递归找到，因为 $\Phi$ 是一种复杂性度量，因此 $\Phi_i(n) <k$ 和 $\Phi_i(n) > g(k)$ 是递归谓词。

3. $t$ 满足定理，因为 $n \geq i$ 暗示 $\Phi_i(n) < t(n)$ 要么 $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$。

QED。

我们观察到任意大 $t$可以发现满足定理3.7。假设我们要$t(n) > r(n)$，然后定义

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

（摘自Allan Borodin，“ 计算复杂性和复杂性差距的存在 ”，JACM 1972，稍作修改。）