对点进行排序，以使连续点之间的最小欧几里得距离最大化

给定3D笛卡尔空间中的一组点，我正在寻找一种对这些点进行排序的算法，以使两个连续点之间的最小欧几里得距离最大化。

如果该算法具有趋向于在连续点之间更高的平均欧几里得距离的趋势，那将也是有益的。

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— Lior Kogan
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交叉张贴，动机。

— Jukka Suomela 2011年

听起来像瓶颈TSP的最大化版本。或最长路径问题的瓶颈版本。它有名字吗？

— Jukka Suomela 2011年

我建议使用gonzalez k聚类启发式（贪婪策略）。没有完全考虑这一点，似乎应该产生2近似值？

— Suresh Venkat

不幸的是，正如所述，冈萨雷斯不会给出很好的答案（考虑点（-100,0），（99,0）和（100,0））。例如，如果我们从错误的点（-100,0）开始，则会得到一个可怕的答案。从各个角度运行冈萨雷斯并采取最佳答案仍然可行。

— Suresh Venkat

Answers:

预计到达时间：以下所有内容均在Arkin等人于SODA 1997的“ 关于最大散布TSP ”一文中。

我不知道确切的答案，但是这是另一种方法，与Suresh关于Gonzalez聚类的建议有些不同：

为简单起见，假设为偶数。对于每个顶点，找到距离。形成一个无向图，其中每个顶点连接到至少相距中值距离的其他顶点。该图中的最小次数至少为，因此根据狄拉克定理，可以在该图中找到一个哈密顿环。 $n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

另一方面，圆盘中有个以为中心且半径为顶点，该顶点太多而无法在循环中形成独立的集合，因此任何哈密顿循环都必须具有边连接这些顶点中的两个顶点，长度最大为。因此，通过该算法发现的汉密尔顿周期最糟糕的是瓶颈最大周期的2近似值。 $n/2 + 1$ $p$ $d(p,q)$ $2d(p,q)$

这将适用于任何度量空间，并在适用于任何度量空间的算法之间提供最佳的近似比率。因为，如果您的近似值好于2的倍数，则可以将汉密尔顿循环问题的输入图简化为一个度量空间，每个图边的距离为2，每个非图边的距离为1，从而可以精确地解决汉密尔顿循环问题。 -边缘。

大概可以小心一点，您可以将其按摩成路径而不是循环的近似算法。

— 大卫·埃普斯坦
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有没有理由相信欧几里得案中没有PTAS？

— Jukka Suomela 2011年

我没有理由知道。但是，用于欧氏网络设计问题的常规PTAS方法仅能使最小化，而不能最大化。

— David Eppstein

我知道的一个例外是Chen和Har-Peled在PTAS上进行定向越野的飞机上的论文。这是一个最大化的问题。

— Chandra Chekuri 2011年

我们上载了解决该问题的预印本，即在欧几里得案例中给出了最大散点TSP的PTAS。arxiv.org/abs/1512.02963（拉斯洛·科马，托拜厄斯Mömke：一个用于PTAS欧几里德最大散TSP）

— 拉斯洛·科马

我们上载了解决该问题的预印本，即在欧几里得案例中给出了最大散点TSP的PTAS。 http://arxiv.org/abs/1512.02963（LászlóKozma，TobiasMömke ：欧氏最大散点TSP的PTAS）

— 拉斯洛·科兹马（LászlóKozma）
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