最短路径的数据结构

令为具有个顶点和边的未加权无向图。是否可以预处理并生成大小为的数据结构，以便它可以在时间O（n）内回答“与之间的距离”形式的查询？ $G$ $n$ $m$ $G$ $m \cdot \mathrm{polylog}(n)$ $u$ $v$

这个问题似乎太基本了，无法解决。

graph-theory graph-algorithms ds.data-structures

— 伊利亚拉兹
source

针对您关于“太基础而无法解决”的最后一句话：如果必须在固定时间内回答查询，则确实经过了充分研究。但问题的关键是您允许O（n）时间进行查询（而不是O（1）或琐碎的O（m））。尽管我认为这是一个有趣的问题，但我认为该问题没有根本的重要性。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto-我不明白，如果这个问题允许超常数但低于线性的查询时间，为什么这个问题会失去其“根本重要性”。例如，假设我可以用以下约束条件解决上述问题：距离查询可以在时间内回答一些，并且处理时间最多为 -这样会不会给我一个用于计算最短路径的亚三次算法？我个人认为这是一个非常有趣的问题。

O (n^{1 - ε})

$O(n^{1-\varepsilon})$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (n^{3 - ε})

$O(n^{3 - \varepsilon})$

— 拉奇

我不知道有没有通用的方法，但是有界树宽图中有个好方法，请参阅有界树宽图中的最短路径查询

— Saeed

同样如果您可以创建最短路径树（从每个节点开始），然后在回答最短路径查询（通过相关根，或者可以通过类似的方式构造具有较小内存大小的数据结构。

m = Ω (n^{2})

$m = \Omega(n^2)$

O (n)

$O(n)$

— Saeed

Answers:

这是一个非常有趣的问题。从高层次上讲，您在问是否可以预处理图，以使最短路径查询变得独立于图的密度，而无需使用过多的额外空间-有趣的是，但是正如您所说，尚未解决。

如果您对近似距离感到满意，这是一种获得近似值的方法。令为具有节点和边的加权无向图。在以下论文中显示，对于近似距离查询，为具有边的图设计数据结构并不比每个节点的度数受限制的图更难： $2$ $G$ $n$ $m$ $m$ $m/n$

R. Agarwal，PB Godfrey，S.Har-Peled，稀疏图中的近似距离查询和紧凑型路由，INFOCOM 2011

因此，假设 $G$ 是一个度有界图。样本节点随机均匀；称这些地标节点。在预处理阶段，存储图中每个地标节点到每个其他节点的距离；这需要空间。对于每个节点，存储其最近的界标节点。同样，将图形存储在数据结构中，例如作为邻接表。 $m/n$ $\alpha = O(m/n)$ $O(m)$ $u$ $\ell(u)$

当查询和之间的距离时，在两个节点周围都长出球-节点球定义为严格距离比与其最接近的地标节点（例如节点集。可以看出，每个球的大小是预期的。让，其中， $u$ $v$ $w$ $w$ $\ell(w)$ $O(n^2/m)$ $\Gamma(u) = B(u) \cup N(B(u))$ 是节点的球和是在一组节点的邻居的。可以看出，期望的是的大小为。 $B(u)$ $u$ $N(B(u))$ $B(u)$ $\Gamma(u)$ $O(n)$

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v) \neq \emptyset$ $\min_{x \in \Gamma(u) \cap \Gamma(v)} \{d(u, x) + d(v, x)\}$ $d(u, \ell(u)) \leq d(v, \ell(v))$ $d(u, \ell(u)) + d(\ell(u), v)$ $d(v, \ell(v)) + d(\ell(v), u)$ $2$

在查询时间方面，请注意，对于度有界图，成长球需要时间；给定各自的球构造和需要时间（因为邻居存储在数据结构中）；并检查是否为空也需要时间。 $O(n)$ $m/n$ $\Gamma(u)$ $\Gamma(v)$ $O(n)$ $\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$ $O(n)$

以上范围是预期的；我认为对结构进行随机化很容易。不幸的是，这种技术似乎不允许逼近比。这是一个非常有趣的问题。 $2$

— 拉奇特
source

上述技术没有利用输入图未加权的事实；也许可以利用这个事实来做一些有趣的事情，但是我想不出一种检索精确距离的方法。例如，可以将查询时间减少到并获得以边界的距离，其中是和之间的精确距离。

O (n^{2} / m)

$O(n^2/m)$

2 d + 1

$2d+1$

d

$d$

u

$u$

v

$v$

— 拉奇（Rachit）2011年

我意识到我不明白为什么它是2近似值。在相同情况下，Thorup-Zwick得出3的近似值。

— ilyaraz 2012年

@ilyaraz：请注意，Thorup-Zwick方案不需要检查（因此，几乎可以在恒定的时间内回答查询）。请参阅我上面提到的有关拉伸证明的论文。

Γ (u) \cap Γ (v)

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$

2

$2$

— 拉奇（Rachit）2012年

您需要的被称为“远程预言”。不幸的是，我对距离预言片不是很熟悉，因此由于Thorup和Zwick的缘故，我只能向您介绍开创性论文：

Mikkel Thorup和Uri Zwick。近似距离预言。STOC '01，2001年。

这是摘要的摘录：

令是的无向加权图和。令为整数。我们显示可以在预期时间内进行预处理，构造一个大小为的数据结构，这样任何后续距离查询可以大约以时间回答。返回的近似距离最大为，即通过将估计距离除以实际距离而获得的商介于1和。我们的算法的空间需求基本上是最佳的。 $G = (V, E)$ $|V| = n$ $|E| = m$ $k$ $G = (V, E)$ $O(kmn^{1/k})$ $O(kn^{1+1/k})$ $O(k)$ $2k - 1$ $2k - 1$

根据他们的结果，即使对于加权图，您所请求的内容基本上也是可行的：选择产生在预期时间获得的大小的距离Oracle，该距离Oracle 可以用回答最短路径查询-延长时间！ $k=1$ $O(n^2)$ $O(mn)$ $1$ $O(1)$

远距离预言片是一个经过充分研究的领域，因此，我相信您将能够进一步挖掘。

— 加博尔·雷特瓦里（Gabor Retvari）
source

期刊版本：JACM 2005。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

使用空间，可以天真地存储查找表。因此，本文（我知道）与本文无关。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ilyaraz 2011年

很公平。最接近您要求AFAIK的结果是平均度数，该图在查询中提供了具有空间的Stretch-2路径时间。（R. Agarwal，P。Godfrey和S. Har-Peled，“稀疏图中的近似距离查询和紧凑路由”，

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— INFOCOM2011

使用Bourgain将指标嵌入，可以得出一个Oracle，其空间为，查询时间为和乘法误差。

ℓ_{1}

$\ell_1$

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ilyaraz 2011年