对称性与计算难处理性之间的关系？

所述$k$ -fixed点自由构问题询问至少其移动的曲线图构$k(n)$节点。如果k （n ）= n c对于任何c > 0 ，问题是。$NP$$k(n)=n^c$$c$

但是，如果$k(n)=O(\log n)$则问题是多项式时间Turing可归结为图同构问题。如果$k(n)=O(\log n/\log \log n)$则问题是多项式时间Turing等效于图自同构问题，该问题在$NPI$且未知为$NP$。图自同构问题可以图灵化为图同构问题。

关于计算图自同构移动的顶点数量的复杂性，Antoni Lozano和Vijay Raghavan 软件技术基金会，LNCS 1530，第295-306页

似乎随着我们增加要尝试找到的对象的对称性而增加了计算难度（如必须通过自同构运动的节点数所示）。看来这可以解释缺少从NP完全版到图自同构（GA）的多项式时间图灵缩减的问题

是否有另一个困难的例子支持对称性和硬度之间的这种关系？

这并不是对称性和硬度之间的“相同”关系，但是布尔函数的对称性与其电路复杂性之间存在密切的关系。看到：

Babai，L.，Beals，R.和Takácsi-Nagy，P. 对称和复杂性，STOC 1992。

这是他们展示的内容。令是置换群的序列。设小号（ģ 我）表示的轨道的数量ģ 我在其诱发的动作{ 0 ，1 } 我（由坐标的排列）。让˚F（ģ ）表示的类的语言大号使得大号∩ { 0 ，1 } Ñ是下是不变的ģ Ñ。然后所有F语言$G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$电路的大小最大为 p o l y （s （G ）），深度最大为 p o l y （log （s （G ）），这基本上是紧密的。$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

在相反的方向上，证人集具有很多对称性的几个问题最终出现在c o A M中（如G I），因此除非P H崩溃，否则N P-不完全。实际上，以下论文表明，证人集具有很多对称性的N P问题对于P P而言很低：$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

内华达州Vinodchandran的Arvind，V. 组可定义语言的计数复杂度。定理。计算 科学 242（2000），没有。1-2，199--218。

（注：无论是否“低为 ”表示“不太可能ñ P。-complete”是一个小补中气，因为据我所知，户田和荻原显示，P P P ^ h ⊆ 乙P ⋅ P P下的“去随机化”的假设，所以乙P ⋅ P P = P P，ñ P实际上是在低于P P，所以为低为P P是毫无障碍地被ñ $PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-完成。在另一方面，存在由于一个oracle Beigel相对于其是不低于P P）。$NP$$PP$

以类似的静脉作为上述情况，如果每多项式时间可判定的同值关系具有多项式时间完全不变（函数使得˚F （X ）= ˚F （Ý ）当且仅当X 〜Ý），那么任何Ñ P问题，其证人证人的同构群具有很多对称性，可以简化为隐藏子群问题。诚然，这里的假设不太可能成立，但确实在对称性和量子复杂性之间建立了某种联系。$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

最后，Mulmuley-Sohoni 地物复杂性理论程序实质上是使用对称性来证明硬度，尽管对称性-硬度之间的联系更加微妙，直接性也较低。

确实表现出许多对称性的结构化SAT实例似乎比随机SAT实例更容易解决。将现实世界中的问题编码为SAT总是会引起结构化实例的出现（这并不奇怪，因为我们面对的现实世界中的问题确实具有对称性）。最好的完整SAT求解器能够有效地解决多达1,000,000个变量的现实世界实例，但据我所知，它们都不能够有效地解决具有10,000个变量的随机实例（在Edward A. Hirsch上）主页上可能会发现一些令人惊讶的小随机实例，即使是最好的完整SAT求解器也是如此。因此，从经验的角度来看，对称性的存在似乎降低了硬度。