被求解方程系统模

我对求解任意k的线性模（模k）的复杂性很感兴趣（并且对质数幂有特别的兴趣），特别是：

问题。 对于未知数为的线性方程的给定系统，是否存在任何解决方案？$m$$n$$k$

在他们的论文的摘要中，Mod _k L，Buntrock，Damm，Hertrampf和Meinel 类上logspace-MOD类的结构和重要性声称它们“ 通过证明有限环Z上线性代数的所有标准问题来证明其重要性。/ k Z对于这些类是完整的。经过仔细检查，这个故事更加复杂。例如，Buntrock 等。证明（通过在Kaveh发现的较早且可自由访问的草案中进行校对，谢谢！）表明，求解线性方程组的方法反而在互补类coMod _k L中，$\mathbb Z/k\mathbb Z$k素数。这个类是不知道等于国防部_ķ 大号的ķ复合，但从来没有介意-我很担心的是，他们不作任何言论是否求解线性方程组MOD ķ甚至包含在coMod _k L中表示k个合成！

问题：是否 对所有正k都包含在coMod _k L中的 以_k为模的线性方程组的求解？

如果您可以对以质数p的高次幂q为模的方程组进行求解，则也可以对p为模进行求解。因此求解模q的方程组是coMod _p L -hard。如果你能证明这个问题是在国防部_q大号，你最终会呈现国防部_ķ大号  =  COMOD _ķ大号所有ķ。这可能很难证明。但是它在 coMod _k L中吗？

我很高兴地说，我认为我们可以肯定地回答这个问题：也就是说，确定线性同余是否可取模k是coMod _k L -complete。

实际上，我们可以将这个问题简化为素数幂的特殊情况。一个可能表明：

正常形式。类COMOD _ķ大号包括汉语语言大号形式的大号  =  大号_{p 1}  ∩  大号_{p 2}  ∩...∩  大号_{p - [R}  ，其中大号_{p Ĵ}  ∈  COMOD _{p Ĵ} 大号和其中p _Ĵ范围以上的素因子ķ。

根据余数定理，方程系统的任何解都对每个素幂p e j取模除以k得出同一系统modk的解。所以，如果求解线性方程组在p牛逼Ĵ$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$包含在coMod_pj L中，因此，方程组modk的求解系统包含在coMod_kL中。

有一个标准算法，由McKenzie和Cook描述，用于减少线性同余以模的幂次幂来构造其零空间的扩展集（即，对于给定环上的A x  =  y，为[  A  |  y  ]并查看是否存在最终系数为-1）的解；随后为了减少零空间模质数幂的构造而构造零空间模质数和矩阵乘法模质数幂。只要您可以构造涉及的矩阵，后两个任务都是对于coMod _k L可行的问题。

事实证明，麦肯齐和库克归约过程中涉及的矩阵本身可以通过矩阵乘法计算，也可以通过（关键）除以恒定因子来计算。幸运的是，对于素数，可以使用coMod _p L机器的oracle在工作带上计算所涉及的矩阵的系数。可以在NC ^1中执行常数除法，这在coMod _p L中也是可行的。因此，事实证明，整个问题最终都可以在coMod _k L中解决。

有关完整的详细信息，请参见[ arxiv：1202.3949 ]。