被求解方程系统模


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我对求解任意k的线性模(模k)的复杂性很感兴趣(并且对质数幂有特别的兴趣),特别是:

问题。 对于未知数为的线性方程的给定系统,是否存在任何解决方案?mnk

在他们的论文的摘要中,Mod k L,Buntrock,Damm,Hertrampf和Meinel logspace-MOD类的结构和重要性声称它们“ 通过证明有限环Z上线性代数的所有标准问题来证明其重要性。/ k Z对于这些类是完整的。经过仔细检查,这个故事更加复杂。例如,Buntrock 等。证明(通过在Kaveh发现的较早且可自由访问的草案中进行校对,谢谢!)表明,求解线性方程组的方法反而在互补类coMod k L中Z/kZk素数。这个类是不知道等于国防部ķ 大号ķ复合,但从来没有介意-我很担心的是,他们不作任何言论是否求解线性方程组MOD ķ甚至包含coMod k L中表示k个合成!

问题:是否 对所有正k都包含在coMod k L中的 k模的线性方程组的求解

如果您可以对以质数p的高次幂q为模的方程组进行求解,则也可以对p为模进行求解。因此求解模q的方程组是coMod p L -hard。如果你能证明这个问题是在国防部q大号,你最终会呈现国防部ķ大号  =  COMOD ķ大号所有ķ。这可能很难证明。但是它在 coMod k L中吗?


本文的citeseerx链接。ps:处理的更可靠的方法是使用,其中是接受的提醒的集合。证明复杂度方面还有一个相关问题,请参见。“ 线性代数的证明复杂性 ”的Soltys和库克,2004年APALmodkmodkAA[k1]modk
卡韦赫

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那么k = 4和奇偶校验L呢?
domotorp

Answers:


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我很高兴地说,我认为我们可以肯定地回答这个问题:也就是说,确定线性同余是否可取kcoMod k L -complete

实际上,我们可以将这个问题简化为素数幂的特殊情况。一个可能表明:

正常形式。COMOD ķ大号包括汉语语言大号形式的大号  =  大号p 1  ∩  大号p 2  ∩...∩  大号p - [R  ,其中大号p Ĵ  ∈  COMOD p Ĵ 大号和其中p Ĵ范围以上的素因子ķ

根据余数定理,方程系统的任何解都对每个素幂p e j取除以k得出同一系统modk的解。所以,如果求解线性方程组p牛逼Ĵpjejpjtj包含在coModpL中,因此,方程组modk的求解系统包含在coModkL中

有一个标准算法,由McKenzie和Cook描述,用于减少线性同余以模的幂次幂来构造其零空间的扩展集(即,对于给定环上的A x  =  y,为[  A  |  y  ]并查看是否存在最终系数为-1)的解;随后为了减少零空间模质数幂的构造而构造零空间模质数和矩阵乘法模质数幂。只要您可以构造涉及的矩阵,后两个任务都是对于coMod k L可行的问题。

事实证明,麦肯齐和库克归约过程中涉及的矩阵本身可以通过矩阵乘法计算,也可以通过(关键)除以恒定因子来计算。幸运的是,对于素数,可以使用coMod p L机器的oracle在工作带上计算所涉及的矩阵的系数。可以在NC 1中执行常数除法,这在coMod p L中也是可行的。因此,事实证明,整个问题最终都可以在coMod k L中解决

有关完整的详细信息,请参见[ arxiv:1202.3949 ]。


我想知道,在您的问题/答案中不变?我对k的大小不是无界的情况感兴趣。kk
Juan Bermejo Vega

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@Juan:是的,是一个常数,尽管是任何常数。k
Niel de Beaudrap,2014年
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