规则高围图，节点上的总阶为“局部均匀”

定义

令并使，和为正整数（）。 $\epsilon > 0$ $d$ $r$ $g$ $g > 2r+1$

令是周长至少为的简单规则，无向，有限图。 $G = (V,E)$ $d$ $g$

令为的总阶。 $\le$ $V$

对于每一个，让由在那个距离内的节点的从在（最短路径从到任何具有至多边缘），并让是子图引起的的。回想一下，我们假设有很高的周长；因此是一棵树。令为对的限制。 $v \in V$ $V_v \subseteq V$ $r$ $v$ $G$ $v$ $u \in V_v$ $r$ $G_v$ $G$ $V_v$ $G$ $G_v$ $\le_v$ $\le$ $V_v$

我们说，如果和是同构的则中的边是好的。就是说，有一个，它保留了邻接关系（ iff ）和顺序（ iff ）。否则边缘不好。 $\{u,v\} \in E$ $(G_u,\le_u)$ $(G_v,\le_v)$ $f\colon V_u \to V_v$ $\{x,y\} \in E$ $\{f(x),f(y)\} \in E$ $x \le y$ $f(x) \le f(y)$

我们说 $(G,\le)$ 是 $\epsilon$ epsilon-好，如果至少有 $(1-\epsilon)|E|$ 好的边缘。

题

令。是否存在任何以及任何和（其中）的 -good对）？ $d = 4$ $\epsilon$ $(G,\le)$ $\epsilon > 0$ $r$ $g$ $r \ll g$

备注：

我想知道一般的答案，但是第一个不平凡的情况。 $d$ $d = 4$
的大小无关紧要，只要它是有限的即可。我不需要的构造；仅仅存在或不存在就足够了。 $G$ $G$

例子

如果，则答案为“是”。我们可以简单地采取足够长的周期，并沿着周期对节点进行排序。在连接最大和最小节点的边缘附近有一些不良边缘，但是所有其他边缘都很好：对于几乎所有节点，对只是一条路径，其中节点的数量递增订购。 $d = 2$ $v$ $(G_v,\le_v)$ $2r+1$
如果，则答案为“是”。只需拍摄一个常规的高围图即可。 $r = 0$
如果足够小，则对于任何偶数答案为“是” 。只需拍摄一个维网格图（将边界包裹起来使其成为正则），然后按节点的字典顺序对它们的坐标进行排序。同样，我们在网格边界附近有一些不良边缘，但是我们可以任意减少不良边缘的数量。 $g$ $d$ $(d/2)$ $d$
如果不必是有限的，则对任何偶数的回答都是“是” 。规则无限树的总阶数使所有边缘都良好。 $G$ $d$
如果为奇数且足够大，则答案为“否”。本质上，Naor＆Stockmeyer（1995）表明，每个节点都至少入射到一个非良好边缘。 $d$ $r$

背景

（可以安全地跳过此部分。）

这个问题与分布式计算的基础有关，特别是与局部算法有关。

我们想了解以下内容：在这种情况下，总阶的存在有助于分布式系统中的局部对称性破坏。直观地说，每个节点的具有产生输出，该输出是的函数，即，局部邻域的函数。如果边缘不好，则在附近有一些局部对称破坏信息可用，并且节点和可能产生不同的输出；如果边缘良好，则节点和在本地无法区分，并且它们必须产生相同的输出。 $v$ $G$ $(G_v,\le_v)$ $v$ $e = \{u,v\}$ $e$ $u$ $v$ $u$ $v$

对于许多经典图问题，众所周知，总阶无济于事（弱得多的关系提供了基本上相同数量的对称破缺信息），但是某些情况仍未解决 -涵盖了所有高阶情况的一般结果周长图可能是一个突破。

这可能是一个双赢的问题：无论答案如何，我们都会学到新的东西。如果答案是“是”，那么我们也许可以得出新的，更强的下界结果。如果答案为“否”，我们也许能够设计出更快的算法，以利用任何可用的局部对称破坏信息。 $(G,\le)$

当然，在现实世界中，我们在上没有总阶；我们还有更多内容：每个节点具有唯一的标签。但是，弥合总订单和唯一标签之间的差距通常更为简单；通常，类似Ramsey的论点表明（在最坏的情况下）标签不提供总无法提供的任何信息。 $V$ $v \in V$ $\ell(v) \in \mathbb{N}$

graph-theory co.combinatorics dc.distributed-comp

— Jukka Suomela
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是的，这样的对存在于任何，任何，任何和任何偶数。 $(G,\le)$ $\epsilon > 0$ $r$ $g$ $d$

有关详细信息，请参见arXiv：1201.6675。

— Jukka Suomela
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