通过有限网格中的行和列排列连接像元

我想知道以下简单问题是否已经研究过，是否知道任何解决方案。

令G为有限（MxN）网格，S为G单元的子集（“小块”）。如果两个碎屑的坐标最多相差一个（即，如果绘制为正方形，则它们共享至少一个拐角点），则称为两个（局部）连接。

现在，可以通过排列网格的线和列来尝试连接碎屑（它们的集合）。换句话说，目标是提出线的排列和列的排列，以使生成的网格中的任何两个碎屑通过（局部）连接的碎屑链连接。

问题：总有解决方案吗？

我不太清楚该如何进攻。由于缺乏更好的主意，我编写了一个原始程序，该程序通过蛮力寻找解决方案（它会随机生成排列并检查生成的网格是否连接了碎屑）。到目前为止，该程序始终在较小的（10x10或7x14）网格上找到解决方案，而较大的网格显然超出了其简化策略的范围（在解决方案中随机绊倒会花费太长时间）。

这是程序解决的网格示例：

初始网格（小块由X表示，空单元由点表示）：

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

解：

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

自然地，问题可以很容易地推广到d> 2的任何维度。我认为可以考虑其他推广。

提前致谢，

亚恩·戴维

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— 亚恩·戴维
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有趣的问题。有什么应用吗？

— Suresh Venkat

@Tsuyoshi：您说得对，我发布的数字有解决方案（您提供的解决方案）。我删除了它。

— Marzio De Biasi

不鼓励同时进行交叉。 math.stackexchange.com/questions/83231/…–

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

让我们更仔细地尝试与我的答案的早期版本中类似的计数参数。

$n^2 2^{5q}$ $n^2$ $5q$ $n^2 2^{5q} (n!)^2$

$c$ $\binom{n}{c}^n$ $c$ $\exp(cn\log n-O(n))$ $q=cn$ $\exp(2n\log n+O(cn))$ $c>2$

— 大卫·埃普斯坦
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设置并忽略项，我追踪了您的不等式以找到“收支平衡”点，得到。后者值显着接近26608.

c = 3

$c=3$

o (n)

$o(n)$

n > 6 * 2^{15} / e^{2}

$n > 6*2^{15}/e^2$

— hardmath

这是一个奇怪的数字巧合。我在mathoverflow.net/questions/81368/…上

— David Eppstein

这确实是一个优雅而令人信服的证明。（为了我自己的利益，我花了一些时间来详细说明这些近似值。）是否有人设法提出具体的反例还有待观察。@hardmath在上面的评论表明这可能很困难（CE将是一个丑陋的野兽）；现在，在CE的所有行中不需要面包屑的数量相同。

— Yann David