可自行归纳的Lambda-Calculus术语

在我继续尝试学习lambda演算的过程中，Hindley＆Seldin的“ Lambda-Calculus and Combinators简介”中提到了以下论文（由Bruce Lercher撰写），该论文证明了唯一可还原的表达式与其自身相同（模Alpha转换）是：。$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

尽管我相信结果，但我完全不遵循这一论点。

它很短（少于一个段落）。任何解释将是最欢迎的。

谢谢，

查理

首先，请注意，该结果指出，右侧等于左侧（模alpha转换）的唯一beta redex是$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$。在上下文中具有此redex，还有其他一些术语会减少。

我可以看到Lercher的大多数证明工作是如何进行的，尽管有些地方如果不稍加修改就无法通过。假设（我使用表示alpha等价），并且根据变量约定，假设在中不自由出现。$(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$

计算左侧和右侧的数量。还原移除一个从归约式，加上那些的，以及多达有在添加倍的出现次数中。换言之，如果是数量的在和是游离出现数在然后。Diophantine方程的唯一解决方案是（和但我们不会使用该事实）。$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

对于以上段落，我不理解莱切尔的观点。他计算和原子项的数量；让我们写这个。等式为，它有两个解：和。我看不出消除第二种可能性的明显方法。$\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

现在让我们对两边等于的数量应用相同的推理。还原移除一个靠近顶部，并作为有取代的出现许多增加在，即2。因此之一多个发生必须消失; 由于的那些仍然存在（因为包含自由），因此在左侧的额外出现必须为。$B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$$\lambda x. A$

我不明白Lercher如何推断没有作为子项，但这实际上与证明无关。$A$$B$

根据最初的假设，是一个应用程序。这不可能是的情况下，如果，因此本身是一个应用，具有。由于不能将自身作为子项，因此不能具有的形式，因此。同样，。$[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$$M$$M$$\lambda x.P$$M = x$$N = x$

我更喜欢无数论证的证明。假设。$(\lambda x. A) B = [B/x] A$

如果则我们有，这是不可能的，因为不能是其自身的子项。因此，由于假设的右手边等于应用程序，因此必须是应用程序和和。$A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$$B = [B/x] A_2$

根据以前的等式，或。在第二种情况下，，这是不可能的，因为$ A_1不能成为其自身的子项。阿1 = λ X 。[ 乙/ X ] 甲阿1 = λ X 。（λ X 。阿1 阿2）$A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$

根据后者的等式，或没有自由（否则将是其自身的子项）。在后一种情况下，。A 2 x B A 2 = $A_2 = x$$A_2$$x$$B$$A_2 = B$

我们已经证明。因此，初始假设的右侧为，并且 =。乙乙乙= λ X 。一λ X 。X $A = x x$$B B$$B = \lambda x. A$$\lambda x. x x$