近似比率的层次定理？

众所周知，NP硬性优化问题可以具有许多不同的近似比率，从具有PTAS一直到在任何因素下都不可近似的范围。在这两者之间，我们有各种常数，等。 $O(\log n)$ $poly(n)$

关于这组可能的比率了解多少？我们可以证明任何一种“近似层次”吗？形式上，对于哪些功能和可以我们证明了存在与近似比的问题？ $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

在的情况下，是否存在近似比正好为的问题？ $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

这样一个定理的证明很可能类似于witness.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html。给定一个已知的近似边界

的问题，我们以某种方式使问题“更容易”，大概使用某种形式的填充，以获得一个近似边界

。

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

和

不是常数。

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— 泰森·威廉姆斯，

@TysonWilliams：我认为他的意思是在PTAS与近似值之间没有常量，对数和poly（n）等

— Suresh Venkat

您是否需要排除琐碎的变换，其中立即使f最小的

逼近是

α

$\alpha$

最小化

近似

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

？

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Suresh Venkat

至于你大约α= O（1），结合已被证明对于许多问题，如装箱，调度机（iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html）紧最后一个问题

— 戈皮

Answers:

有一个近似的层次结构，主要已知的例子：FPTAS EPTAS PTAS APX。但由于不可逼近，也有NPO-PB。 $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

关于这样一组可能的比率，有很多结果，类似这样的结果：

EPTAS FPTAS，除非， $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

定义APX / NPO-PB难题。

一些参考：

在PTAS上：M. Cesati和L. Trevisan。关于多项式时间逼近方案的效率，1997年。
在NPOPB上：V. Kann。一些NPO PB完全最大化问题的逼近性的强下界

但我建议最好是检查“ 复杂性动物园”，因为它有更多关于这些示例的信息和参考，甚至维基百科

$\alpha=O(1)$

— 戈皮
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我仍然认为Suresh在问题下方的评论足以表明任何比率都是可能的。如果您对此不满意，例如，可以查看布尔约束满足问题（CSP）。

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin和JohanHåstad，《随机支持的独立性和抵抗力》，《 SIAM计算杂志》，第1卷。40号 1，第1-27页，2011年。

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— 妇幼保健
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