图同构问题是否存在间隙扩增类型的结果？

假设和是顶点集上的两个无向图。当且仅当存在一个置换使得或更正式时，如果存在一个置换使得是的边，则图是同构的如果是的边。图同构问题是确定两个给定图是否同构的问题。 $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

在图上是否存在以Dinur证明PCP定理的样式产生“间隙放大”的运算？换句话说，是否存在从到的多项式时间可计算转换，使得 $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

如果和是同构的，则和也同构，并且 $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
如果和不同构，则对于每个排列，图形是“ -far”从对于一些小的常数，其中 -far意味着，如果我们随机地均匀选择，然后以概率要么
- 是的边缘和不是一个边缘，或 $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- $(i,j)$ 不是的边缘，而是的边缘。 $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— 安德烈·夏洛
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@domotorp：“多项式时间变换”是指输入和输出均为字符串的确定性多项式时间Turing机的标准术语。在这种情况下，该图灵机将对（G1，G2）作为输入并产生对（G'1，G'2）作为输出。例如，每个图被编码为相邻矩阵。

— 刚伊藤

我认为PCP定理对于任何NP问题都是有效的，因此它特别适合图同构吗？

— 丹尼斯2012年

@dkuper作者的意思是要问是否存在间隙扩大的减少，该减少将图形同构的实例减少为具有较大间隙的图形同构的实例。他没有直接询问PCP定理，只是询问证明近似硬度的技术...

— argentpepper 2012年

大概是一个长镜头，但是您能证明如果是这种情况，那么您可以在量子多项式时间内解决图同构吗？

— Neal Young

与目前的知识状态一致，即使SAT也具有线性时间算法，所以您写的内容似乎不太可能被知道。如果是，请在您的答案中添加参考。

— 卡夫（Kaveh），

我不知道这样的事情是否可能存在。但是有趣的是（也许是及时的），注意到这样的“间隙放大”可能暗示了一种用于图同构的拟多项式时间算法（与最近宣布的算法不同）

在本文中，针对最大化匹配的边缘/非边缘对的“ MAX-PGI”问题，给出了一种近似算法；如果我们从GI减小到“ Gap-MAX-PGI”，那么我们可以近似地分辨出间隙的哪一侧。

因此，鉴于必须克服的障碍，我认为Dinur关于PCP定理的证明不太可能直接推广到这样的“间隙放大器”。

— 乔·贝贝尔
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