最短路径公理

假设我们有一个无向加权图（具有非负权重）。让我们假设中的所有最短路径都是唯一的。假设我们有这些路径（未加权边的序列），但是不知道G本身。我们能否产生将这些路径视为多项式时间最短的G？较弱的版本：我们可以在多项式时间内确定是否存在这样的G吗？$G = (V, E, w)$$G$$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

显而易见的必要条件如下：对于每对路径，它们的交点也是一条路径。这个条件够吗？

在进行轻松搜索时，我偶然发现了这个老问题，而我最近刚在本文中得到了一些答案，我不妨分享一下。我希望可以将线程坏死和自我促进相结合。

我们能否产生将这些路径视为多项式时间最短的G？较弱的版本：我们可以在多项式时间内确定是否存在这样的G吗？

答案都是肯定的。Mohammad的算法确实可以工作，但是有一种更快，更直接的方法，它避免了运行立方分隔符的需要。令是辅助无向加权图，其中每个边的权重是一个整数，指示在输入上采取的条路径中有多少条包含该边。现在，考虑在进行边缘容量化的多商品流实例（将边缘权重解释为容量），其中目标是在每对节点之间同时推送1个单位的流量。显然，可以通过沿输入上给定的路径以自然方式推动流来满足此MC流实例。事实证明，可以证明我们的Ê ∈ È （$H = (V, E, w')$$e \in E$高（$n \choose 2$$H$ G$n \choose 2$当且仅当这是满足MC流实例的唯一方式时，路径才是某些中唯一的最短路径。我们可以通过建立一个LP来测试其唯一性，该LP是MC流程可行性的通常约束，加上经过精心选择的目标函数，可以从该LP的对偶中提取出令人满意的的边缘权重。$G$$G$

显而易见的必要条件如下：对于每对路径，它们的交点也是一条路径。这个条件够吗？

这种情况有时称为“一致性”（如果任意两个的交集是每个的子路径，则一组路径是一致的）。从以上可以看出，一致性是不够的。两个并列最小的反例之一是以下彩色编码的系统，该系统在六个节点上具有四个路径：

换句话说，无法为此处显示的8个边缘分配权重，以使所有这四个路径同时是其端点之间的唯一最短路径。但是，它们中的任何一对都仅在一个节点上相交，因此它们是一致的（即使我们以正确的方式用一些其他路径填充它们，使总数为）。有无数这样的反例。请参阅该论文以进行表征。$n \choose 2$

关于这一切的另外三个快速评论：

1. 您可能希望所有类似的语句在有向图而不是无向图的设置中都很好，
2. 这个理论有一个很好的拓扑学解释，它导致关于如何构造独特的最短路径的更多见解和直觉，以及
3. 由于某些技术原因，该理论可以方便地简化DAG的设置，而不是无向或（循环）有向图。

您可以将问题写成LP，不是吗？对于u，v的任意两个顶点以及从u到v的任何路径P，P的权重均大于或等于u和v之间给定的最短路径的权重。所有这些都是线性不等式，即使存在指数问题很多，分离问题在P中（这是所有对的最短路径问题）。因此，您可以使用Ellipsoid算法来解决它。