使最小宽度树分解趋于多项式时间

众所周知，图的树分解由树和每个顶点的关联包，满足以下条件： $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

每个顶点都在某个包中。 $G$ $T$
对于每个边缘，都有一个包含边缘两个端点的袋子。 $G$
对于每个顶点，包含的袋子都诱导出的连接子树。 $v \in V(G)$ $v$ $T$

我们还可能需要从分解中获得以下条件，称为“ 稀薄度”：

对于每对袋的，的，如果和与，则a）有顶点不相交的路径，或b）树在从节点到节点的路径上包含边，使得和设定 $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ 相交所有在路径。 $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

罗宾·托马斯（Robin Thomas）表明，总是存在最小宽度的树分解，而且这种分解也是精简的，并且由多个作者（例如Patrick Patrickenen和Reinhard Diestel）提供了对此事实的简单证明。

我感兴趣的是：给定图和最小宽度的树分解，我们可以发现一个最小宽度瘦的树分解在多项式时间？ $G$ $G$ $G$

提到的两个证明不能产生如此有效的建设性。在贝伦鲍姆和迪埃斯特尔的论文中，提到“在托马斯定理的另一个（更具建设性的）简短证明中，P。贝伦鲍姆，Schlanke Baumzerlegungen von Graphen，汉堡大学的Diplomarbeit，2000年”。las，我无法在线上找到该手稿，而我的德语不是那么好。

— 巴特·詹森
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好问题。查找最小宽度的树分解是NP-Hard，因此您的问题有些不适（出现）。我的猜测是，有人可能会问这个问题，或者是在近似意义上。

— Chandra Chekuri 2011年

但是在他的情况下，他给出了最小宽度的树分解，并且他想要一种算法来使其瘦化。

— Suresh Venkat

@SureshVenkat：我意识到他得到了最小宽度的树分解，但是您怎么能验证它是正确的呢？而且，精益树分解局部地适应图的不同部分的树宽，因此使全局图的树分解为最佳并不能避免找到较难的局部片段树宽的问题。

— Chandra Chekuri 2011年

光滑的树分解（所有包的大小相同，而两个相邻的包的相差一个顶点）则比一般的树分解容易处理，并且很容易看出总有最小宽度的树分解是平滑的。因此，也许可以通过将其中一种已知构造限制为有效构造。是否总是存在平滑且精简的最小宽度树分解？

— 迭戈·德埃斯特拉达

@ChandraChekuri我认为，如果您将其说成是一个Promise问题，那么验证问题就会消失，但是我认为关于一棵树分解不一定提供足够的信息以适应您的观点。但是下面的问题可能是合理的：是否有办法“局部”修改给定的树分解以使其“倾斜”而不增加树宽？

— Suresh Venkat

除非P = NP，否则问题无法多次解决，这是一个正式的原因。我们知道找到给定图的树宽是NP-Hard。给定图我们可以添加尺寸的不相交的集团来创建一个新的图。可以通过以下方法获得的最小宽度树分解：它具有两个节点，其中一个包包含集团的所有节点，另一个包包含所有节点。现在使这种树分解成为瘦树将需要找到原始图的瘦树分解，该分解将作为副产品给出的树宽。 $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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好点子。您是否知道关于用于查找精益树分解的参数化和/或中等指数时间算法的信息？

— 巴特·詹森