近似频率矩的界限

让是一个整数序列，其中每个一Ĵ ∈ { 1 ，2 ，... ，Ñ }。对于我∈ { 1 ，2 ，... ，Ñ }，让米我 = | { j ：a j = i } | 。第k个频率矩定义为$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

在他们著名的论文《近似频率矩的空间复杂性》中，Alon等人。得到流算法近似于使用大致ø （Ñ 1 - $F_k$空间。他们还使用通信复杂性技术来获得Ω（n1−$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$对于k>5。对于ķ=0，1，2，它们提供更多或更少的匹配的上限和下限。$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

是否有过改进，因为然后这些边界，并具有有过进步？$k = 3,4,5$

取得了相当大的进步。上的特定问题，有上的匹配和下限的Ñ 1 - 2 / ķ为ķ > 2。上限是由Indyk和Woodruff（于STOC 2005中出现）提出的，而下限是通过信息复杂性框架得出的，这归因于Bar-Yossef等人和Chakrabarti等人。$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

对于k <= 2

$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3）k = 2，我认为他们论文中的AMS草图是最佳的

有关的东西。

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$