用于NP的好的PCP是否为我们提供了整个多项式层次结构的好的PCP？

PCP定理指出，NP中的每个决策问题都有概率可检验的证明（或等效地，存在使用恒定查询复杂度和对数多个随机位的NP中定理的完整且准声音的证明系统）。

PCP定理周围的“民间智慧”（暂时忽略了PCP在近似理论上的重要性）是，这意味着可以用严格的数学语言编写的证明可以有效地检查到所需的准确度，而无需阅读全部证明（或大部分证明）。

我不太明白这一点。考虑不加限制地使用量词的命题逻辑的二阶扩展（有人告诉我它已经比ZFC弱，但我不是逻辑学家）。我们已经可以开始表达通过交替量词不能被NP访问的定理。

我的问题是，在高阶命题陈述中是否存在一种简单的，已知的“展开”量词的方法，以便NP中定理的PCP同样适用于任何级别的PH。可能无法做到这一点–在最坏的情况下，展开量化器会花费我们证明系统的健全性或正确性的恒定部分。

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— 罗斯·斯尼德
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在我看来，针对问题的PCP几乎是按照定义将问题放在BPP中的，这意味着它已经在

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ 由Sipser–Gács–Lautemann撰写。但是也许也看到这个相关的问题。

— 彼得·索尔

这听起来很合理，但是我很困惑。如果这是正确的话，难道不把NP放在BPP中吗？

— 罗斯·斯尼德

哎呀。我应该说MA，它也包含在

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ 。

— 彼得·索尔

这是行不通的。PH对所涉及的引理有抵抗力。考虑类似EXP ^ 2之类的东西。它可以作为笑话处理RP，RNP等。您不容易沿该层次结构前进。

— Steve Uurtamo

Answers:

陈述的真实性与在证明系统中具有（简短）证明的陈述不同。该语言具有表达能力，但这并不意味着该语言中的所有有效语句在系统中都有简短的证明。

该定理并不是说您可以检查陈述的真实性，甚至不能检查任意长证明或任意定理的正确性。这是为了证明 $\mathsf{NP}$ 集合，根据定义，该集合具有成员资格的多项式大小证明（证书）。该定理只是说，您不需要阅读完整的（多项式大小）隶属关系证明 $\mathsf{NP}$ 决定其正确性。

该定理的一个含义是将其应用到任意语言中的一组定理中，这些有效定理在有效证明系统中具有短（即任意多项式）证明（即，如果给定的字符串是给定的证明，则可以在多项式时间内确定）声明）。例如，具有大小证明的ZFC定理 $n^{100}$ 哪里 $n$ 是公式的大小。如果证明系统是正确的，那么您可以通过阅读一小部分证明来概率验证具有短证明的定理的正确性。我认为这是非正式声明的意图，“ 用严格的数学语言编写的证明可以有效地检查到任何所需的准确性，而无需阅读整个证明 ”。

— 卡韦
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让我尝试澄清一下。

考虑以下计算问题：给定一个数学语句（在您最喜欢的公理系统中）和一元表示形式的数字n，请确定该语句是否具有大小为n的证明。

这是一个NP问题：给定证明，一个人可以有效地验证它的大小为n，并且它是该定理的有效证明。 注意：即使该语句包含FOR ALL等量词，也并不意味着验证者需要检查所有可能性，仅意味着该验证者使用涉及FOR ALL量词的推理规则。

因此，PCP定理适用于此问题，因此存在（不同的）证明格式可以进行概率验证。

另一个说明（关于Peter的评论）：PCP验证程序仅使用对数随机性。这意味着可以用查看整个证据的标准确定性验证程序代替它。拥有用于某种语言的PCP验证程序会将其放入NP。

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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