随机三次图的振幅

$G=(V,E)$$n =|V|$$G(n, 3$$)$$3n$

$n$$s \in V$$B_G$$s \in V$$d(s, v)$$v \in V$$d(s, v)$$s$$v$$G$

$B_G$

$$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$$ $e=\{u,v\} \in E$

给定特定的广度优先搜索，令为已分配级别的边数，令。换句话说，是该级别包含的边缘比其他任何级别都多的边缘的数量。最后，让为最大对于任何的的广度优先搜索。$B_G$$\alpha(B_G,i)$$i$$\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$$\alpha(B_G)$$\alpha(G)$$\alpha(B_G)$$n$$G$

让我们称为的振幅。$\alpha(G)$$G$

题

随着趋于无穷大，的期望值如何增长？回想一下，是随机立方的。更准确地说，我真正想知道的是是否预期值属于。$\alpha(G)$$n$$G$$\alpha(G)$$o(n)$

由于为偶数，因此考虑了极限，因此我不在乎奇数。$n$$n$

展开图的幅度 。随机3个正则图几乎可以肯定地是一个展开图（请参阅Wikipedia），因此振幅的期望值将为，因为当变为，它不是展开图的可能性变为。$\alpha(n) = \Theta(n)$$\Theta(n)$$0$$n$$\infty$

对于具有参数，对于具有的个顶点的任何集合，都存在该集合的邻居。现在，让级别的顶点数为，其中。然后，根据扩展属性，只要不太大（即，我们尚未包括一半的顶点） 现在，查找包含顶点的级别。也就是说，因此和$\beta$$s$$s \leq n/2$$\beta s$$j$$\ell_j$$\ell_0=1$$j$

$$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$$ $\ell_j$$\frac{n}{3}$$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$。如果此级别很大，即，我们就完成了。否则，下一级的大小为 并且我们完了。$\ell_j \geq n/6$ $$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$$

尽管此证明着眼于某个级别中的顶点数量而不是边缘数量（OP询问了该数量），但在步骤，至少总是添加了与级别顶点数量一样多的边缘，因为必须达到每个顶点在某种程度上。$i$$i$

Peter Shor的答案确实很好，但是还有另一种答案：证明树宽的上限是幅度的两倍（顶点版本）。由于我们知道 3正则扩展器具有线性树宽，因此我们完成了。

参见给定BFS树的树分解的构造，此演示的幻灯片15：http : //www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

不难看出，每个包的大小上限是最大包的两倍。