使用Mulmuley-Sohoni GCT方法显示*已知*复杂度分离有多困难？

在乔什·格罗霍（Josh Grochow）在复杂性网络日志上的客座文章中，他报道了7月在普林斯顿举行的专门针对GCT的研讨会。一些与会者认为，我们应该使用GCT来解决比与相对容易的问题，以建立直觉并查看该方法是否具有潜力。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

困扰我的问题是：

是否可以使用GCT显示或类的已知分隔？$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

做类似$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. 在GCT环境中甚至没有任何意义，或者
2. 对GCT框架完全无关紧要，或者
3. 导致猜想与与一样困难 吗？$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

简短的答案：可能不是（1），绝对不是（2），可能是（3）。

这是我一段时间以来一直在想的事情。首先，从某种意义上说，GCT的真正目的是为计算功能提供下限，而不是决策问题。但是，对于，P，P S P A C E和E X P的函数类版本，您的问题完全有意义。$L$$P$$PSPACE$$EXP$

其次，在GCT方法中，实际上要证明布尔型-我们知道和喜欢的布尔型，例如可能非常困难，因为这将需要使用模块化表示理论（有限表示形式字段），在任何情况下都无法很好地理解。 $FP \neq FEXP$

但是一个合理的目标可能是使用GCT证明的代数类似物。$FP \neq FEXP$

提出您的问题：我认为这些问题可以在GCT的背景下提出，尽管目前尚不清楚如何实现。或多或少，您需要一个对类来说完整的函数，并以其对称性为特征。如果与该功能相关的表示理论很容易理解，则额外的奖金，但是后者通常很难。

即使在GCT上下文中提出了问题，我也不知道使用GCT证明等（的代数类似物）将有多么困难。在这些上下文中将出现表示理论猜想可能会与P vs N P中产生的味道非常相似$FP \neq FEXP$$P$$NP$还是永久与决定因素。可能希望这些分离结果的经典证明可以为如何找到GCT证明所需的表示理论“障碍”提供一些思路。但是，您提到的陈述的证明都是基于对角化的层次定理，而且我看不到对角化如何真正使您深入了解与的代数类似物相关的函数的表示理论。X P，说。另一方面，我还没有看到如何在GCT上下文中制定F E X P，所以还为时过早。$FEXP$$FEXP$

最后，正如我在那篇博客文章中所提到的，Peter Burgisser和Christian Ikenmeyer试图重新证明矩阵乘法的边界秩的下限（在2006年，Joseph Landsberg证明是7）。通过计算机搜索GCT障碍物，他们能够显示边界等级至少为6。2013年4月更新：此后，他们设法使用GCT障碍物再次证明了Landsberg的结果，并展示了渐近线3$2 \times 2$下界矩阵乘法$\frac{3}{2}n^2 - 2$使用这样的障碍物。尽管GCT到目前为止还没有再现矩阵乘法的已知下限，但是它确实使计算机搜索比其他方法更有效（这将涉及Grobner基，在最坏的情况下这是双指数时间）。在研讨会上的演讲中，Peter和Christian都指出（正确地说，我想说），我们真正希望得到的计算小样本的方法不是重新证明已知的下界，而是一些可以使我们使用这些下界的见解。证明新的下界的技巧。

这种做法的好处关于GCT矩阵乘法的背景下，该技术很容易地从推广到3 × 3矩阵乘法（虽然计算与当前的技术障碍显然变得更贵），而兰茨贝格的做法似乎非常难以实施即使是3 × 3的情况。关于您提到的复杂性类分离，可以说类似的话：GCT非常通用，它不仅可以应用于已知结果，例如F P ≠ F E X P，而且可以应用于未知结果，例如P $2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$，而我们知道对角化不是。$P \neq NP$

Joshua Grochow在arXiv上有一篇新论文，该论文显示了如何将几种已知的下界技术放入GCT框架中，似乎似乎在某种程度上回答了您的问题。

（这主要是评论，但没有人会注意到评论，因此我将其发布为答案。）

通过几何复杂度理论统一和推广已知的下界

约书亚·格罗肖

$AC^0[p]$因此，这是已知结果的自然统一和广泛概括。它还显示GCT的框架至少与已知方法一样强大，并且提供了许多新的概念证明，证明GCT确实可以提供显着的渐近下界。这一新观点也为以前的结果与GCT的新方法之间富有成果的双向互动开辟了可能性。我们提供了有关此类交互的一些具体建议。例如，GCT的表示理论观点自然提供了在寻找新的下界时要考虑的新属性。这一新观点也为以前的结果与GCT的新方法之间富有成果的双向互动开辟了可能性。我们提供了有关此类交互的一些具体建议。例如，GCT的表示理论观点自然提供了在寻找新的下界时要考虑的新属性。这一新观点也为以前的结果与GCT的新方法之间富有成果的双向互动开辟了可能性。我们提供了有关此类交互的一些具体建议。例如，GCT的表示理论观点自然提供了在寻找新的下界时要考虑的新属性。