键入lambda演算的函数无法计算

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我只想知道一些可以通过未类型化lambda演算而不是通过类型化lambda演算来计算的函数的示例。

因为我是初学者，所以对背景信息的一些重复将不胜感激。

谢谢。

编辑：通过键入lambda演算，我打算了解系统F和简单键入的lambda演算。按功能，我指的是任何图灵可计算的功能。

-calculi 存在许多键入规则，而对您的请求的答案部分取决于您所考虑的键入规则选择。它还取决于您对功能的含义。差异的一个示例是，诸如System F之类的输入规则只能输入规范化程序，而未键入的 -calculus包含非规范化术语。

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Martin Berger'1

我在考虑系统F和简单类型的lambda演算。按功能，我的意思是图灵可计算的功能。

— 蒂莫西·扎查里

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Godelization给出了一个很好的例子：在lambda演算中，对函数唯一可以做的就是应用它。结果，无法编写类型为的封闭函数，该函数需要一个函数参数并为其返回Godel代码。 $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

将其作为Heyting算术的公理通常被称为“建设性的教会论点”，并且是强烈反古典的公理。也就是说，将其添加到HA是一致的，但不能添加到Peano算法中！（基本上，每个图灵机都停止或不停止是一个经典事实，并且没有可计算的功能可以证明这一事实。）

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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我不明白这与扩展理论是如何一致的：f和g在扩展上相等，但是实现方式不同，因此godel代码也不同。函数是否为f和g返回相同的数字？

— 科迪2012年

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与扩展性不一致！但是，在HA中，和是逻辑连接词，而不是函数/记录。因此，它们必须是可实现的，但他们的实现者不必是扩展的。安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）是这方面的专家，因此，如果您提出一个问题，您肯定会得到很好的答案。

\forall

$\forall$

\exists

$\exists$

— Neel Krishnaswami 2012年

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最简单的答案是这样的事实，即类型化的lambda演算对应于逻辑（简单类型的lambda演算->谓词逻辑；系统f->二阶逻辑），而一致的逻辑无法证明其自身的一致性。

假设您在输入的lambda演算中有自然数（或自然数的Church编码）。可以进行Gödel编号，将系统F中的每个术语分配给唯一的自然数。然后，有一个函数，它将任何自然数（对应于System F中一个好的类型的项）带到另一个自然数（对应于该F中类型良好的系统F项的正常形式），并为任何与系统F中类型正确的术语不对应的自然数（例如，它返回零）。函数是可计算，因此它可以由无类型演算来计算，但不是类型lambda演算（因为后者将达到二阶逻辑的一致性的证明在 $f$ $f$ 二阶逻辑，这意味着二阶逻辑不一致。

需要注意1：如果二阶逻辑是不一致的，这也许可以写在系统F ...和/或它可能不可能写在无类型演算-你可以写的东西，但它可能不总是终止，这是“可计算”的标准。 $f$ $f$

警告2：有时通过“简单类型的lambda演算”，人们的意思是“具有定点运算符或递归函数的简单类型的lambda演算”。就像无类型的lambda演算一样，PCF或多或少都可以计算任何可计算的函数。

— 罗伯·西蒙斯
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未类型化的 -calculus具有组合器形式的一般递归。简单类型的 -calculus不会。因此，任何需要一般递归的函数都是候选函数，例如Ackermann函数。（我省略了一些细节，以至于我们如何精确地表示每个系统中的自然数，但基本上任何合理的方法都可以。） $\lambda$ $Y$ $\lambda$

当然，您总是可以扩展简单类型的 -calculus以匹配的幂，但是随后您正在更改游戏规则。 $\lambda$ $Y$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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出于某种原因，我曾在我的头上，你可以在系统F ...做阿克曼

— 罗布·西蒙斯

@Rob，据我了解，安德烈（Andrej）并非如此。

— 卡韦

1

我想我说过可以在未类型化的 -calculus中编程Ackermann函数（因为每个可计算函数都可以），但是不能在简单类型化的 -calculus中编程。我什么也没有说有关系统F.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— 安德烈·鲍尔

哦，对，我只是傻瓜。（因为在谈论系统F和谈论STLC之间的问题非常模棱两可，所以我选择了功能更强大的系统，却忘记了更简单的问题。）

— Rob Simmons

-calculus中的Ackermann函数为。根据我本学期建立的类型推断，它具有简单的类型：，这很残酷，但可能是正确的。STS的问题不是阿克曼（Ackermann），而是模拟图灵机。没有组合器，您根本无法做到这一点。

λ

$\lambda$

λ m . m (λ f n . n f (f \underline{1})) s u c

$\lambda m.m(\lambda f n.n f(f \underline{1}))~\mathsf{suc}$

(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)

$(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)$

\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d

$\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d$

Y

$Y$

— Francisco Mota 2012年

6

简单类型的lambda演算实际上令人惊讶地薄弱。例如，它无法识别常规语言。不过，我从未发现STLC可以识别的语言集的精确特征。 $\mathtt{a}^*$

— 山姆·托宾·霍斯塔特
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5

我认为可计算的内容取决于您要查看的类型。当您在类型表示自然，其中是基本类型，并且将等式视为beta-等式，则可定义的函数是扩展多项式（多项式+ if-then-其他）。IIRC中，Schwichtenberg证明了这一点，尽管我从未阅读过他的原始论文（德语）。（我认为论文的译名是“在键入的Lambda Calculi中定义的函数”，1976年。）

(p \to p) \to p \to p

$(p \to p) \to p \to p$

p

$p$

— Neel Krishnaswami 2012年

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@尼尔更好的翻译是 -calculus中具有Types的可定义函数 $\lambda$ 。您可以在这里下载它，它只有两页长。是否知道在其他类型，其他相等概念或自然数的其他编码处会发生什么？

— Martin Berger 2012年

@Marting：谢谢！我现在住在德国，所以这是练习我的德语的一个很好的额外动力。:)

— Neel Krishnaswami 2012年

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我喜欢的高度标准化结石的局限性的一种观点是可计算性角度。在高度归一化类型的演算中，例如核心简单类型的lambda演算，System F或构造演算，您可以证明所有项最终都会终止。

如果该证明是有建设性的，则您将获得固定的算法，以保证计算时间上限的方式评估所有项。或者，您也可以研究（不一定是建设性的）证明，并从中提取一个上限-可能很大，因为这些结石具有表达力。

此界限为您提供了在固定的lambda演算中无法键入的函数的“自然”示例：所有渐近优于此界限的算术函数。

如果我没记错的话，可以在指数塔中对简单类型的lambda演算中键入的项进行求值：O(2^(2^(...(2^n)..); 比这种塔的增长速度快的功能在这种计算中无法表达。系统F对应于直觉二阶逻辑，因此可计算性非常简单。为了抓住甚至更强大的理论的可计算性优势，我们通常以集合论和模型论（例如，可以建立什么序数）为依据，而不是以可计算性理论为依据。

— 加舍
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0

如果我正确理解了您的问题，我认为一个简单的示例就是术语，它接受一个函数并将其应用于自身。您可以在未类型化的lambda演算中定义和简化此函数（特别是，您有，但未进行标准化），但是您无法键入，因为将意味着找到类型，使得。 $\Delta = \lambda x. x x$ $\Delta \Delta \to_\beta ~\Delta \Delta$ $\Delta$ $A$ $A = A \to A$

— 查尔斯
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我们应该小心键入 -calculus的含义。具有 st类型并不奇怪。

λ

$\lambda$

A

$A$

A \equiv A \to A

$A\equiv A \to A$

— 卡夫

是的，您是对的，但是我认为（也许我是错的）在简单类型的lambda演算或System F中不可能有这样的类型，而这两种类型都在高度规范化。

— 2012年

我不确定该论点是否成立：我们不仅需要证明是不可输入的，而且还没有与等效的输入lambda项。最简单的方法是指出类型化的lambda演算正在高度规范化这一事实。

Δ Δ

$\Delta\Delta$

Δ Δ

$\Delta\Delta$

— lambda.xy.x

@Kaveh为什么有一种A这样A \ident A \rightarrow A不是很奇怪？对我来说这听起来很荒谬，我在俯视什么？

— Martijn

您可能正在经典地考虑集合和它们上的函数空间。考虑一下例如有限的二进制字符串和可计算的函数。

— 卡夫