排序列表的近似和

最近，我研究了用于计算已排序的非负数列表的近似和的问题。对于任何固定的，一个ø （日志Ñ ）时间近似方案已经导出，使得它提供了一个（1 + ε ）的总和-近似。该文件发布在http://arxiv.org/abs/1112.0520上，该文件尚未完成。$\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

我一直在寻找有关此问题的现有作品，但是我只得到了几篇与远程相关的论文，并引用了它们。这个问题以前研究过吗？如果有人知道有关此问题的任何现有研究，请告诉我。我将感谢您的帮助，并相应地更新引文。如果结果较旧，则纸张将被丢入垃圾桶。

在下面的论文中解决了这个问题，其中大多数问题都得到了解决：http : //valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/。

在阅读了Har-Peled的核心集论文的证明细节之后，现在我知道他的方法暗含了O（log n）时间算法，用于排序的非负数的近似和。核心集由排序列表中数字的子集组成，其位置仅取决于列表大小n和近似比epsilon。核心集中所有点的权重可在O（log n）时间中计算。因此，尽管没有在本文中明确声明，但它为排序列表的近似和带来了O（log n）时间算法。由于该算法隐藏在核心集构造的证明中，而不是Har-Peled论文所声称的定理中，因此在检查了论文的结果后，我没有看到这样的结论。

我通过删除包含O（log n）时间算法的第4节来修订我的论文。Har-Peled的论文在更新版本中被引用。仍然保留第一种算法，因为它具有O（log n）时间无法比拟的复杂性。例如，当输入排序列表中的数字在0到（log n）^ {O（1）}范围内时，它以O（log log n）时间运行。该算法基于二次区域搜索，这与核心集构造大不相同。时间下限也保持不变，但略有修改。

现在，我对这方面的作品有了更好的了解。在此，我非常感谢理论计算机科学同事在此网站上提供的专业帮助，它提供了出色的反馈。我的修改后的论文将在几天之内在同一存档站点中提供。我真诚地欢迎对可能会丢失的相关参考文献发表进一步的评论。

傅斌

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

for some $k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$.

The main contribution of the approximate sum paper is an nontrivial $\mathcal{O}(\log n)$ time method to find a coreset of size $\mathcal{O}(\log n)$, which is different from the above construction. Thus, it brings an $\mathcal{O}(\log n)$ time algorithm.

With the above $\mathcal{O}(\log n)$ size coreset, one can do binary search for each point $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ to determine its weight, which is the number of points between $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ and $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$ in the sorted list. This implies a trivial $\mathcal{O}((\log n)^2)$ time algorithm for the approximate sum problem.