命题和判断有什么区别？

当暴露于直觉类型理论时，我对命题和判断之间的细微差别感到困惑。谁能向我解释区分它们的目的是什么？特别是考虑到Curry-Howard Isomorphsim。

首先，您应该知道，一般而言，这些术语尚无共识，其定义取决于其中的工作系统。自从您询问直觉主义类型理论以来，我将引述Pfenning：

判断是我们可能知道的东西，也就是说，是知识的对象。如果我们实际上知道这一判断，则是显而易见的。

另一方面，根据马丁·洛夫（Martin-Löf）的命题是一组证明。在这种解释中，如果一个命题的证明集为空，则它为假，否则为真。

命题被解释为一个集合，其元素表示该命题的证明

Nordström等人说。另一方面，在古典逻辑中，一般来说，命题是用可以是“真”或“假”的语言表达的对象。

给你一些额外的直觉；在我看来，判断是合乎逻辑的，命题是合乎逻辑的。

我的建议“构造逻辑” 弗兰克·菲宁，“证据和类型”由让-伊夫·吉拉德和“马丁- LOF的类型理论编程”由本特·努德斯特伦等。所有这三个都可以在Internet上免费获得。最后一个可能是最接近您想要的内容，因为它是面向编程的，并且详尽地详细介绍了这些术语的含义以及更多内容。

也许我可以尝试给出一个不太形而上的答案。

我们正在研究一种语言，一种逻辑语言。在这种语言中，有一些被称为“命题”的事物被认为是对还是错。

有一种元语言，它也是一种逻辑语言，我们试图用它来解释基本语言中哪些是对还是错。我们在此元语言中所做的声明称为“判断”。

注意，基本语言的所有命题在元语言中都具有数据状态。它们和弦一样好。您不能问一个字符串是真还是假。判断是将字符串解释为命题并确定是真还是假的解释器。

在其他答案更为详尽的地方，我会尽量简短。一段文字说“管家做到了”之间是有区别的。，而Marple夫人则宣称“管家做到了”。在第二种情况下，管家可能会失去自由。

在马丁·洛夫的类型理论中，判断是言语行为的一部分。有四项判断（根据维基百科，五项判断）：

• （阿是一种类型/组/命题），$A \ \mathsf{Type}$$A$
• （小号是其成员的/证明甲），$s : A$$s$$A$
• （ š和吨是平等成员/样张甲），$s=t : A$$s$$t$$A$
• （ A和 B是相等的类型/集合/命题），$A=B$$A$$B$
• （ Γ是公形成上下文）。$\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

要了解这意味着什么，我们必须回到Frege。弗雷格的旋转门符号 是言语行为。它声称的内容（下面，并是一个判断）。在马丁·洛夫的类型理论中，我们有上面列出的四个（五个？）判断。在这些理论中，命题只是类型。$\vdash$

假设是一个命题。那么A是一种类型。假设t是A型项。那么t ：A是一种判断（您可以认为t是A的证明）。现在，我们可以断言，这样的话，在这种情况下，我们用⊢ 牛逼：一。$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

我将迈克尔·比森（Michael Beeson）的“建构数学基础”添加到安东尼的答案中。马丁·洛夫（Martin-Löf）进行了几次演讲，很好地解释了他的理论，但不幸的是，大多数演讲并没有被他转变成已发表的形式（但请访问此网站）。

判断是由两件事组成：

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$，其中某些逻辑的判断并不等同于逻辑语言的任何命题。因此，在相当基本的古典逻辑中可以看到不同种类的命题。

Martin-Löf的类型理论诉诸于一个更复杂的判断家族，其原因有三个：首先，它是从属类型的，这意味着命题作为项内的句法实体出现。其次，他使用一种语法来定义哪些符号串是有效的术语和命题，但是却使用推论系统来做到这一点–这是一件合理的事情，因为这类理论中的命题通常不是上下文无关的。第三，他设计了一种新颖的平等理论，通常被称为命题平等，它利用了β-eta理论（或者在某些变体中，只是β理论），并且使用判断表达来表达两个术语共享相同范式的判断。两个术语的beta / eta等价关系–同样合理，

可以毫不费力地消除表达beta / eta对等的判断-作为命题相等的引入规则的理由是，这两个术语是beta等价的（β-eta对等稍有问题）-但消除了判断术语“居住类型”要复杂得多；为此，我能想到的最坏的方法是重构术语语法中的类型推论，这将导致理论上更复杂，更不直观。

主张，主张和陈述都是相同的；但是判断是一个已经过验证（无论是对还是错），被认可或被用作结论的命题。像上面的答案一样，不需要花哨的公式似乎会滥用...