半空间范围计数的权衡界限

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当前对在一组维点上执行半空间范围计数查询的最佳界限是什么，以时间/空间折衷的形式表示。根据Matousek的开创性1993纸（定理6.2，范围搜索与高效层次插条），我们可以这样做对于那些的交点查询范围计数半空间，为，使用大小的数据结构，用于，在 $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ 时间。对于这是时间。但是，Agarwal进行的范围搜索调查（表36.3.2）声称边界为 $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ 。界限的正确陈述是什么？或者，我误会什么？最后，当时，是否存在任何隐藏的对数项？ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ $m=n^d$

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— pkn
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6

Matoušek的更强时限是正确的。

$O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$ -赋予了Matoušek时空权衡的形式。（实际上，间接技巧只是对标准权衡机制的非常谨慎的应用。）

— 杰夫斯
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O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn 2012年

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

2

在Agarwal的调查的表36.3.2 和本调查的第4.3节中的表36.3.2上方，对半空间范围的搜索结果进行了简短的讨论。除了“可以通过组合线性大小和对数查询时间数据结构来实现单形范围搜索的空间/查询时间权衡”之外，前者似乎没有提供太多细节，但是后者似乎提供了很多有关空间/查询时间权衡的更多详细信息。我建议查看第4.3节，定理7，推论8，以及它们的证明。我还没有足够详细地阅读它们，无法知道它是否能够完全回答您的问题，但这至少是一个不错的起点。

— 乔
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