动态编程：验证原理

考虑的大风蛋糕问题，因此问题变为： $u(c) = log(c)$
$max_{x} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} l o g (x_{t} - x_{t + 1}) s u b 0 < x_{t + 1} \leq x_{t}, x_{0} > 0 g i v e n$ $\max_{x}\sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t}log(x_t-x_{t+1})\: sub\: 0<x_{t+1}\leq x_t,\: x_0>0\ given$

很容易证明函数 $v:(0,x_0]\rightarrow\mathbb{R}$ 由 $v(x)=A+B\:log(x)$ ，其中 $A=\frac{\beta}{(1-\beta)^2}log\beta+\frac{1}{1-\beta}log(1-\beta)$ 和 $B=\frac{1}{1-\beta}$ 是Bellman的解决方案我也知道这是蛋糕问题的值函数，但不符合经典的验证原理，即 $\lim_{t \to +\infty} \beta^tv(x_t) = 0$ 。

我应该如何继续实际证明 $v(x)$ 是问题的价值函数？

optimization dynamic-programming

— PhDing
source

也许您没有完成验证原则的表达？极限应评估什么？我猜

0 < β < 1

$0<\beta <1$ 吗？

— Alecos Papadopoulos

抱歉耽搁了。上面的表达式是验证原理之一，在这种情况下不起作用。我知道还有其他人。

β \in (0, 1)

$\beta \in (0,1)$ ，就可以了。

— PhDing

我无法理解该表达式，因为它只记录了一个限制。它不会写出限制的值。就其本身而言，它不是验证原理，而只是一个不完整的数学表达式。

— Alecos Papadopoulos

限制的值不重要。知道它不等于零就足够了，即不满足我编写的验证原理。还有其他方法可以证明是上述RF问题的值函数吗？

v (x)

$v(x)$

— PhDing

因此，您似乎应该在问题中写下“未达到 ”。您为什么假定读者会知道验证原理意味着该限制应为零？

lim_{t \to + \infty} β^{t} v (x_{t}) = 0

$\lim_{t \to +\infty} \beta^tv(x_t) =0$

— Alecos Papadopoulos