异质折扣因子加权均值的连续极限

我试着找到一系列折扣率加权平均值的下列表达式的限制$\rho_{i}$

这是表达;

$$\rho_{\eta}\left(t\right)=\frac{\sum_{i}^{N}\rho_{i}\left(\omega_{i}e^{-\rho_{i}t}\right)^{\frac{1}{\eta}}}{\sum_{i}^{N}\left(\omega_{i}e^{-\rho_{i}t}\right)^{\frac{1}{\eta}}}$$

其中是每个的重量，代表时间和是替代的跨期弹性$\omega$$\rho$$t$$\eta$

让我们说这就是所谓的Gamma分布，其中和是形状和比例参数。$\omega_{i}\rightarrow\rho^{k-1}e^{-\frac{\rho}{\theta}}$$k$$\omega$

从概念上讲，我已经理解连续极限是，我们应该通过连续体来近似该项，这可能是一个积分，但我无法弄清楚如何找到这个表达式的连续极限。有任何建议或暗示吗？$N\rightarrow\infty$

PS。问题来自以下论文（第14页，等式37）

：http：//www.nber.org/papers/w18999.pdf