LEN模型等效

起始位置是具有不完整信息（道德风险）和以下特性的委托代理模型：

其中 $r_A$ 和 $r_P$ 是代理和委托人的绝对风险规避的Arrow-Pratt度量。

我正在寻找在代理人的工作不可见时委托人提供给代理人的最佳合同。主体的实用程序可编写如下：

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

我想证明以下等价成立，这意味着委托人效用的最大化可以写为以下等价的RHS：

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

其中是正常随机变量的密度函数，其期望值为且方差。 $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

我试图在LHS中使用的显式形式，对其进行一些操作然后进行迭代，但是无法获得等效项。 $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
source

要点是，委托人在一定努力水平下的收益的期望效用可写为 $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

换句话说，由于财富是正态分布的，所以指数效用具有简单的“均值-方差”表示。有关派生的信息，请参见此处。

我认为委托人的收益等于。然后可以直接计算的（条件）均值和方差： $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

因此，委托人的期望效用可以写成

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$